Решите задачу Коши y''+3y'=40x+58e2x y0=0

Искомое решение имеет вид:
yx=yx+y*(x)
Составим характеристическое уравнение:
k2+3k=0
kk+3=0
Его корни равны:
k1=0 и k2=-3
Следовательно, общее решение имеет вид:
yx=C1+C2e-3x
y*(x) выберем в виде:
y*=Ax+Be2x=Axe2x+Be2x
Находим производные:
y'x=Ae2x+2Axe2x+2Be2x
y''x=2Ae2x+2Ae2x+4Axe2x+4Be2x=4Ae2x+4Axe2x+4Be2x
И подставляем в левую часть уравнения:
4Ae2x+4Axe2x+4Be2x+3*Ae2x+2Axe2x+2Be2x=40x+58e2x
4Ae2x+4Axe2x+4Be2x+3Ae2x+6Axe2x+6Be2x=40x+58e2x
7Ae2x+10Axe2x+10Be2x=40x+58e2x
Составим систему и найдем коэффициенты A и B:
10A=40,7A+10B=58.
A=4,7*4+10B=58.
A=4,10B=58-28.
A=4,10B=30.
A=4,B=3.
y*=4xe2x+3e2x
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
yx=C1+C2e-3x+4xe2x+3e2x
Найдем y'(x):
y'x=-3C2e-3x+4e2x+8xe2x+6e2x
И подставим в начальные условия:
C1+C2+3=0,-3C2+4+6=2.
C1+C2=-3,-3C2+10=2.
C1+C2=-3,-3C2=-8.
C1+83=-3,C2=83.
C1=-3-83,C2=83.
Отсюда:
C1=-173,C2=83.
Тогда частное решение окончательно примет вид:
y=-173+83e-3x+4xe2x+3e2x