Решить дифференциальные уравнения а) x2+1y'+4xy=1 б) y''-4y'+5y=2e3x;y0=2; y'0=-34

А) x2+1y'+4xy=1
y'+4xyx2+1=1x2+1
Сделаем замену:
y=uv;y'=u'v+uv'
u'v+uv'+4xuvx2+1=1x2+1
u'v+uv'+4xvx2+1=1x2+1
Составим систему:
v'+4xvx2+1=0u'v=1x2+1
Решаем каждое уравнение систем отдельно:
v'+4xvx2+1=0
v'=-4xvx2+1
dvdx =-4xvx2+1
dvv =-4xdxx2+1
lnv=-2lnx2+1
v=1x2+12
Подставляем во второе уравнение системы:
u'*1x2+12=1x2+1
u'=x2+1
dudx=x2+1
du=x2+1dx
u=x33+x+C
Общее решение:
y=x33+x+C*1x2+12
y=x33x2+12+xx2+12+Cx2+12
б) y''-4y'+5y=2e3x;y0=2;y'0=-34
Искомое решение имеет вид:
yx=yx+y*(x)
Составим характеристическое уравнение:
k2-4k+5=0
D=b2-4ac=-42-4*1*5=16-20=-4
k1=-b+D2a=4+-42=4+2i2=2+i
k2=-b-D2a=4--42=4-2i2=2-i
Следовательно, общее решение имеет вид:
yx=C1e2xcosx+C2e2xsinx
y*(x) выберем в виде:
y*=Ae3x
Находим производные:
y'x=3Ae3x
y''x=9Ae3x
И подставляем в левую часть уравнения:
9Ae3x-4*3Ae3x+5Ae3x=2e3x
9Ae3x-12Ae3x+5Ae3x=2e3x
2Ae3x=2e3x
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:
A=1
y*=e3x
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
yx=C1e2xcosx+C2e2xsinx+e3x
Найдем y'(x):
y'x=2C1e2xcosx-C1e2xsinx+2C2e2xsinx+C2e2xcosx+3e3x
И подставим в начальные условия:
C1+1=2,2C1+C2+3=-34.
C1=1,2+C2+3=-34.
C1=1,C2+5=-34.
C1=1,C2=-34-5.
C1=1,C2=-234.
Тогда частное решение окончательно примет вид:
y=e2xcosx-234e2xsinx+e3x