Решить дифференциальные уравнения (указав их тип)

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решим методом вариации произвольных постоянных.
Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения y''+4y'+4y=0. Для этого составим характеристическое уравнение λ2+4λ+4=λ+22=0 и найдём его корни
λ1=λ2=-2
Общее решение однородного уравнения будет
yо.о.=C1e-2x+C2xe-2x
Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
yо.н.=C1xy1x+C2xy2x=C1xe-2x+C2xxe-2x
где C1x, C2x – неизвестные функции.
Решим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
C1'xy1x+C2'xy2x=0C1'xy1'x+C2'xy2'x=fx ⟹ C1'xe-2x+C2'xxe-2x=0C1'x-2e-2x+C2'xe-2x-2xe-2x=e-2xlnx
C1'x=-xC2'x-xC2'x-2+C2'x1-2x=lnx
C2'x=lnx⟹C2x=lnxdx=по частям:u=lnx; du=dxxdv=dx;v=x=xlnx-xdxx=
=xlnx-x+C3
C1'x=-xlnx⟹C1x=-xlnxdx=u=lnx; du=dxxdv=-xdx;v=-x22=-x22lnx+12x2dxx=
=-x22lnx+x24+C4
Общее решение неоднородного уравнения:
yо.н.=-x22lnx+x24+C4e-2x+xlnx-x+C3xe-2x.
Ответ: yо.н.=-x22lnx+x24+C4e-2x+xlnx-x+C3xe-2x.