Разложить в ряд Фурье функцию заданную на полупериоде. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Разложить в ряд Фурье функцию заданную на полупериоде

Разложить в ряд Фурье функцию заданную на полупериоде .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на полупериоде, продолжив(доопределив) ее четным и нечетным образом. Построить графики функций: fx=-x, 0≤x≤3-3, 3<x≤6

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Доопределим функцию четным образом: f-x=fx на интервале: -6;0
T=12, l=6
fx=-x, 0≤x≤3-3, 3<x≤6x, -3≤x<0-3, -3<x≤-6
Тогда представление функции в ряд Фурье примет вид:
fx=a02+n=1∞an∙cosπnxl
a0=2l0lf(x)dx, an=2l0lfxcosπnxldx
Вычислим коэффициенты:
a0=13∙03-xdx+36-3dx=13∙-x2230-3x30=13∙-92-9=-92
an=13∙03-x∙cosπnx6dx+36-3cosπnx6dx=
Вычислим первый из интегралов интегрированием по частям:
u=-x dv=cosπnx6dx
du=-dx v=6πnsinπnx6
=13∙-x∙6πnsinπnx630+6πn03sinπnx6dx+36-3cosπnx6dx=
=13∙-x∙6πnsinπnx630-36π2n2cosπnx630-18πnsinπnx663=
=13∙-18πnsinπn2-36π2n2cosπn2+36π2n2-18πnsinπn+18πnsinπn2=
=13∙-36π2n2cosπn2+36π2n2=12π2n21-cosπn2
fx=-94+n=1∞12π2n21-cosπn2∙cosπnx6
Запишем частичные суммы ряда:
n=1
fx ~ -94+12π2∙cosπx6
n=2
fx ~ -94+12π2∙cosπx6+6π2∙cosπx3
n=3
fx ~ -94+12π2∙cosπx6+6π2∙cosπx3+43π2∙cosπx2
Построим графики:
Доопределим функцию нечетным образом: f-x=-fx на интервале: -6;0
T=12, l=6
fx=-x, 0≤x≤3-3, 3<x≤6-x, -3≤x<03, -3<x≤-6
Тогда представление функции в ряд Фурье примет вид:
fx=n=1∞bn∙cosπnxl
bn=2l0lfxsinπnxldx
Вычислим коэффициент:
bn=13∙03-x∙sinπnx6dx+36-3sinπnx6dx=
Первый интеграл вычислим интегрированием по частям:
u=-x dv=sinπnx6dx
du=-dx v=-6πncosπnx6
=13∙6xπncosπnx630-6πn03cosπnx6dx+36-3sinπnx6dx=
=13∙6xπncosπnx630-36π2n2sinπnx630+18πncosπnx663=
=13∙18πncosπn2-36π2n2sinπn2+18πncos(πn)-18πncosπn2=
=-12π2n2sinπn2+6πncos(πn)=-12π2n2sinπn2+(-1)n∙6πn
fx=n=1∞(-12π2n2sinπn2+(-1)n∙6πn) ∙sinπnx6
Запишем частичные суммы ряда:
n=1
fx ~-12π2-6π∙sinπx6
n=2
fx ~-12π2-6π∙sinπx6+3π∙sinπx3
n=3
fx ~ -12π2-6π∙sinπx6+3π∙sinπx3+43π2-2π∙sinπx2
Построим графики:

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу