Расчеты на прочность и жесткость при кручении

I. Определение внутренних усилий и напряжений
Рис. 4
В защемлении возникает опорный момент M (рис. 4, а), вычислять который нет необходимости, поскольку внутренние усилия станем определять, рассматривая вал со свободного конца. Методом сечений находим внутренние усилия на каждом участке, составляя сумму моментов относительно продольной оси вала:
TI=M1=40 кНм;
TII=M1-M2=40-30=10 кНм;
TIII=M1-M2=40-30=10 кНм;
TIV=M1-M2+M3=40-30+40=50 кНм.
Строим эпюру внутренних усилий (рис. 4, б).
Проверка
Сечениям, к которым приложена пара сил, на эпюре T соответствуют скачки на величину приложенного момента и в направлении его действия.
Сечение m:
∆Tm=TI-0=40-0=40 кН=M1 скачок в плюс.
Сечение k:
∆Th=TII-TI=10-40=-30 кН=-M2 скачок в минус.
Сечение g:
∆Tg=TIV-TIII=50-10=40 кН=M3 скачок в плюс.
Определяем касательные напряжения на каждом участке:
τI=TIWpI=40∙16π∙2d3=80 кНмπ∙d3;
τII=TIIWpII=10∙16π∙2d3=20 кНмπ∙d3;
τIII=TIIIWpIII=10∙16π∙d3=160 кНмπ∙d3;
τIV=TIVWpIV=50∙16π∙d3=800 кНмπ∙d3.
Определив касательные напряжения, приходим к выводу, что опасным является участок IV . Знак напряжения в расчетах на прочность элементов из пластичных материалов роли не играет.
II. Проектный расчет
Из условия прочности при кручении находим требуемое значение полярного момента сопротивления поперечного сечения:
τ=TWp≤τ⇒Wp≥Tτ=50∙103145∙106=3,45∙10-4 м3.
Поскольку
Wp=π∙d316,
то
d≥316∙Wpπ=316∙3,45∙10-43,14=0,1207 м.
Принимаем полученное значение диаметра вала, округлив его до стандартного значения: d=125 мм;D=250 мм.
Вычисляем фактические касательные напряжения на каждом участке:
τI=TIWpI=40∙16π∙2d3=40∙103∙163,14∙0,253=13,04∙106 Па=13,04 МПа;
τII=TIIWpII=10∙16π∙2d3=10∙103∙163,14∙0,253=3,26∙106 Па=3,26 МПа;
τIII=TIIIWpIII=10∙16π∙d3=10∙103∙163,14∙0,1253=26,09∙106 Па=26,09 МПа;
τIV=TIVWpIV=50∙16π∙d3=50∙103∙163,14∙0,1253=130,45∙106 Па=130,45 МПа.
Строим эпюру касательных напряжений (рис