Расчеты на прочность и жесткость при кручении

I. Определение внутренних усилий и напряжений
Рис. 4
В защемлении возникает опорный момент M (рис. 4, а), вычислять который нет необходимости, поскольку внутренние усилия станем определять, рассматривая вал со свободного конца. Методом сечений находим внутренние усилия на каждом участке, составляя сумму моментов относительно продольной оси вала:
TI=M1=10 кНм;
TII=M1-M2=10-15=-5 кНм;
TIII=M1-M2=10-15=-5 кНм;
TIV=M1-M2+M3=10-15+50=45 кНм.
Строим эпюру внутренних усилий (рис. 4, б).
Проверка
Сечениям, к которым приложена пара сил, на эпюре T соответствуют скачки на величину приложенного момента и в направлении его действия.
Сечение m:
∆Tm=TI-0=10-0=10 кН=M1 скачок в плюс.
Сечение k:
∆Th=TII-TI=-5-10=-15 кН=-M2 скачок в минус.
Сечение g:
∆Tg=TIV-TIII=45+5=50 кН=M3 скачок в плюс.
Определяем касательные напряжения на каждом участке:
τI=TIWpI=10∙16π∙d3=160 кНмπ∙d3;
τII=TIIWpII=-5∙16π∙d3=-80 кНмπ∙d3;
τIII=TIIIWpIII=-5∙16π∙d3=-80 кНмπ∙d3;
τIV=TIVWpIV=45∙16π∙2d3=90 кНмπ∙d3.
Определив касательные напряжения, приходим к выводу, что опасным является участок I . Знак напряжения в расчетах на прочность элементов из пластичных материалов роли не играет.
II. Проектный расчет
Из условия прочности при кручении находим требуемое значение полярного момента сопротивления поперечного сечения:
τ=TWp≤τ⇒Wp≥Tτ=10∙10385∙106=1,18∙10-4 м3.
Поскольку
Wp=π∙d316,
то
d≥316∙Wpπ=316∙1,18∙10-43,14=0,0844 м.
Принимаем полученное значение диаметра вала, округлив его до стандартного значения: d=85 мм;D=170 мм.
Вычисляем фактические касательные напряжения на каждом участке:
τI=TIWpI=10∙16π∙d3=10∙103∙163,14∙0,0853=82,97∙106 Па=82,97 МПа;
τII=TIIWpII=-5∙16π∙d3=-5∙103∙163,14∙0,0853=-41,49∙106 Па=-41,49 МПа;
τIII=TIIIWpIII=-5∙16π∙d3=-5∙103∙163,14∙0,0853=-41,49∙106 Па=-41,49 МПа;
τIV=TIVWpIV=45∙16π∙2d3=45∙103∙163,14∙0,173=46,67∙106 Па=46,67 МПа.
Строим эпюру касательных напряжений (рис