Расчет переходного процесса при лействия источника инусоидальной эдс классическим методом
Рис.2.1.Схема задания
Дано:
R1 = 25 Ом
R2 = 198 Ома
L = 110 мГн
C = 7,2 мкФ
f= 55 Гц
Em = 241 B
φe = 63 ̊
e(t)= Em*sin(ωt+φe)
Найти:
iR2(t)
Решение
Согласно классическому методу решение ищем в виде
iR2(t)= iR2вын(t) + iR2своб(t)
Определим независимые начальные условия uc(0) и iL(0)
Схема до коммутации
Рис.2.2.Докоммутационная схема
Используем метод комплексных амплитуд
Выразим ЭДС в комплексной форме
Em = Em ejфe = 241ej63˚ = 109,4 +j214,7 B
Мгновенное значение
e(t)= 241*sin(ωt+63 ̊ ) B
Определим реактивные сопротивления элементов
Угловая частота
ω= 2π*f = 2*π*55= 345,6 c-1
XL = ω *L = 345,6 *110*10-3 = 38 Ом
XC = 1ω*C = 1 345,6 *7,2*10-6 = 401,9 Ом
UCm = 0
ILm = EmR1+R2+jXL =109,4 +j214,7 25+198+j38 = 0,636 +j0,854 = 1,07ej53,3˚ A
Мгновенные значения
uC(t) = 0
iL(t) = 1,07*sin(ωt+53,3 ̊) A
При t = 0-
uC(0-) = 0
iL(0-) = 1,07*sin(ω*0+53,3 ̊) = 0,854 A
Согласно законам коммутации
uc(0) = uc(0-) = 0
iL(0) = iL(0-) = 0,854 A
Определим принужденное значение iR2
Рис2.3. Схема установившегося режима
IR2m= EmR1+jXL+R1*(-jXC)R1-jXC * -jXCR1-jXC = 109,4 +j214,725+j38+25*(-j401,9)25-j401,9 * -j401,925-j401,9 = 0,749 + j0,867 = 1,146*ej49,2˚ A
Мгновенное значение
iR2прин(t) =1,146*sin(ωt+49,2 ̊) A
Определим зависимые начальные условия diR2tdt(0) и iR20
Рис.2.4.Схема в 1-й момент после коммутации
iR2(0) = uc(0)R2 = 0198 = 0
Согласно 1-му закону Кирхгофа
iС(0) = iL(0) - iR2(0) = 0,854 – 0 = 0,854 A
Согласно уравнению связи
iС(t) = C*duc(t)dt
duc(t)dt (0) = 0,854 7,2*106- = 1,187*105 B/c
iR2t = uc(t)R2
Продифференцируем
diR2tdt = duc(t)dtR2
diR2tdt(0) =duc(t)dtR2= 1,187*105198 = 599,3 A/c
Составим характеристическое уравнение
Заменим источник внутренним сопротивлением (R = 0) , выполним разрыв в образовавшейся схеме и определим операторное сопротивление цепи после коммутации относительно разрыва
Рис.2.5.Схема определения характеристического уравнения
Z(p) = R1+Lp+R2*1Cp R2+ 1Cp = R2LCp2+R1R2C+Lp+R1+R2R2Cp+1
Приравняем 0 числитель
R2LCp2+R1R2C+Lp+R1+R2=0
p2 +928,7p+1,422*106 = 0
p1,2 = - 928,72 ± (- 928,72 )2-1,422*106
p1 = - 464,4 + j1098 c-1
p2 = - 464,4 - j1098 c-1
Корни уравнения комплексно - сопряжённые
Общее решение для свободной составляющей имеет вид
iR2своб(t) = Ae-σt *sin(ω0*t+𝜓),
где σ = 464,4 c-1 – коффициент затухания
ω0 = 1098 c-1 - частота собственных колебаний
Определим ток iR2(t)
Запишем уравнения для iR2(t) и diR2tdt
iR2(t) = iR2прин(t) + Ae-σt *sin(ω0*t+𝜓)
diR2(t) dt = diR2прин(t) dt-σAe-σt *sin(ω0*t+ψ) + ω0Ae-σt *cos(ω0*t+ψ)
iR2(t)= 1,146*sin(ωt+49,2 ̊) +A*e-464,4 t *sin(1098*t+ψ)
diR2tdt =345,6* 1,146*cosωt+49,2 ̊-464,4*A*e-464,4 t *sin(1098*t+ψ) +
+ 1098*A*e-464,4 t *cos(1098*t+ψ)
При t = 0
0 = 0,868+ A sin(ψ)
599,3 = 258,8 – 464,4*Asin(ψu) + 1098*A*cos(ψ)
-0,868 = A sin(ψ)
340,5= -464,4*Asin(ψu) + 1098*A*cos(ψ)
Разделим 2-е уравнение на 1-е
392,3 = -464,4+ 1098*ctg(ψ)
ψ = arcctg(392,3 +464,41098 ) = 86,3 ̊
Из 1-го уравнения
A = -0,868 sin(86,3 ̊) = -0,868 A
iR2(t) = 1,146*sin(ωt+49,2 ̊) - 0,868*e-464,4 t *sin(1098*t + 86,3 ̊ ) A
Рис.2.6.График зависимости iR2(t)
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
