Пусть двумерная случайная величина X Y – генеральная совокупность

Для величин X и Y составить группированные ряда. На основании этих рядов построить полигон, гистограммы относительных частот и графики эмпирических функций распределения для X и Y.
Составим группированный ряд для величины X. Для этого определим наибольшее xmax=87,8 и наименьшее xmin=49,2 значения величины X, встречающееся в выборке. Вычислим размах
Rx=xmax-xmin=87,8-49,2=38,6
Число интервалов
r=1+3,3lgn=1+3,3lg50≈6,6066=6
где [a] означает целую часть числа a.
Весь промежуток 49,2;87,8 изменения выборочных данных величина X разобьет на r=6 интервалов. Тогда шаг разбиения hx=Rxr=38,66≈6,433. Чтобы шаг разбиения был удобным, возьмем его равным hx=6,5. Тогда расширение промежутка разбиения составит h∙r-R=6,5∙6-38,6=0,4.
Для определения границ интервалов ai-1, ai, i=1,…,6, сдвинем начало первого интервала в точку a0=xmin-0,42=49,2-0,2=49. Остальные границы определяются так: ai=ai-1+hx, i=1,…,6.
Для каждого i-го интервала ai-1, ai определим его середину xi* по формуле xi*=12ai-1+ai и найдем частоты ni – количество выборочных значений X, попавших в i-й интервал.
Результаты группировки выборочных значений для X сведем в таблицу
Номер интервала
i
Интервалы
ai-1, ai
Середина интервала
xi*
Частоты
ni
Относительные частоты
nin
Накопительные относительные частоты
j=1injn
ninhx
1 [49, 55,5) 52,25 1 0,02 0,02 0,003
2 [55,5, 62) 58,75 5 0,1 0,12 0,015
3 [62, 68,5) 65,25 8 0,16 0,28 0,025
4 [68,5, 75) 71,75 15 0,3 0,58 0,046
5 [75, 81,5) 78,25 14 0,28 0,86 0,043
6 [81,5, 88] 84,75 7 0,14 1 0,022
Используя полученные результаты для xi* и nin (столбец 3-й и 5-й), строим полигон относительных частот
Используя столбец 2-й и 7-й, строим гистограмму относительных частот
Используя столбец 3-й и 6-й, строим график эмпирической функции распределения
Составим группированный ряд для величины Y. Для этого определим наибольшее ymax=195 и наименьшее ymin=155 значения величины Y, встречающееся в выборке. Вычислим размах
Ry=ymax-ymin=195-155=40
Число интервалов
r=1+3,3lgn=1+3,3lg50=6
Весь промежуток 155;195 изменения выборочных данных величина Y разобьет на r=6 интервалов. Тогда шаг разбиения hy=Ryr=406≈6,667. Чтобы шаг разбиения был удобным, возьмем его равным hy=7. Тогда расширение промежутка разбиения составит h∙r-R=7∙6-40=2.
Для определения границ интервалов bi-1, bi, i=1,…,6, сдвинем начало первого интервала в точку b0=ymin-22=155-1=154. Остальные границы определяются так: bi=bi-1+hy, i=1,…,6.
Для каждого i-го интервала bi-1, bi определим его середину yi* по формуле yi*=12bi-1+bi и найдем частоты ni – количество выборочных значений Y, попавших в i-й интервал.
Результаты группировки выборочных значений для Y сведем в таблицу:
Номер интервала
i
Интервалы
bi-1, bi
Середина интервала
yi*
Частоты
mi
Относительные частоты
min
Накопительные относительные частоты
j=1imjn
minhy
1 [154, 161) 157,5 2 0,04 0,04 0,006
2 [161, 168) 164,5 1 0,02 0,06 0,003
3 [168, 175) 171,5 5 0,1 0,16 0,014
4 [175, 182) 178,5 17 0,34 0,5 0,049
5 [182, 189) 185,5 15 0,3 0,8 0,043
6 [189, 196] 192,5 10 0,2 1 0,029
Используя полученные результаты для yi* и min (столбец 3-й и 5-й), строим полигон относительных частот
Используя столбец 2-й и 7-й, строим гистограмму относительных частот
Используя столбец 3-й и 6-й, строим график эмпирической функции распределения
Вычислить точечные оценки: выборочные средние x и y; несмещенные выборочные средние квадратические отклонения sx и sy.
Точечные оценки x, y, sx2,sy2 вычислим о группированным данным . Для удобства вычисления перейдем к условным вариантам
cx=71,75 , cy=178,5 - середины наиболее часто встречающихся интервалов.
ui=xi*-cxhx , vi=yi*-cyhy
Составим таблицу
Номер интервала, i
ui
ni
uini
ui2ni
vi
mi
vimi
vi2mi
1 -3 1 -3 9 -3 2 -6 18
2 -2 5 -10 20 -2 1 -2 4
3 -1 8 -8 8 -1 5 -5 5
4 0 15 0 0 0 17 0 0
5 1 14 14 14 1 15 15 15
6 2 7 14 28 2 10 20 40
Σ
- 50 7 79 - 50 22 82
Вначале вычислим
u=1ni=16uini=150∙7=0,14
v=1ni=16vimi=150∙22=0,44
su2=nn-11ni=16ui2ni-u2=5050-1∙7950-0,142≈1,59
su=su2=1,59≈1,26
sv2=mm-11mi=16vi2mi-v2=5050-1∙8250-0,442≈1,48
sv=sv2=1,48≈1,22
Искомые оценки
x=u∙hx+cx=0,14∙6,5+71,75=72,66
sx2=hx2∙su2=6,52∙1,59≈67,18
sx≈8,2
y=v∙hy+cy=0,44∙7+178,5=181,58
sy2=hy2∙sv2=72∙1,48=72,52
sy≈8,52
Проверить гипотезы о нормальном законе распределения случайных величин X и Y при уровне значимости α=0,05.
Проверим с помощью критерия χ2 гипотезу H0: распределение генеральной совокупности X имеет нормальный закон Nmx, σx.
Здесь k=2 неизвестные параметра mx и σx (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение) заменяется соответствующими оценками x=72,66 и sx=8,2.
В качестве интервалов возьмем вначале интервалы ai-1, ai, i=1,…,6, приняв a0=-∞, a6=+∞.
Результаты расчетов выборочной величины χв2 приведем в таблице
i
ai-1,ai
ni
zi=ai-xsx
Фzi
pi=Фzi-Фzi-1
npi
ni-npi2npi
1 (-∞, 55,5) 1 -2,09 -0,4817 0,0183 0,915 0,1025
2 [55,5, 62,0) 5 -1,3 -0,4032 0,0785 3,925
3 [62,0, 68,5) 8 -0,51 -0,195 0,2082 10,41
4 [68,5, 75,0) 15 0,29 0,1141 0,3091 15,455 0,0134
5 [75,0, 81,5) 14 1,08 0,3599 0,2458 12,29 0,2379
6 [81,5, +∞) 7 +∞ 0,5 0,1401 7,005 0
Σ - 50 - - 1 50 χв2=0,3538
Пришлось произвести объединение первых трех интервалов из-за малости теоретических частот (должно выполняться npi>5)