Провести статистическую обработку массива данных

Ранжировать данные по величине и найти размах выборки.
n=60 – объем выборки.
Запишем варианты в порядке возрастания получим вариационный ряд
531 534 538 540 542 543 544 546 546 547 548 548 549 549 550
550 550 554 554 555 555 555 556 556 557 557 558 558 560 560
560 560 560 561 561 562 562 562 563 564 566 566 566 567 567
568 568 569 569 571 571 571 572 574 574 576 580 580 580 586
Размах выборки
R=xmax-xmin=586-531=55
Преобразовать точечный вариационный ряд в интервальный с числом интервалов 8.
s=8 – число интервалов. Длина интервала
h=Rs=558≈7
Построим интервальный ряд, разбив интервал, в который попали все варианты, на 8 интервалов i=1,2,…,8
i
Границы интервала Середина интервала
xi
Частота, ni
1 [530,5; 537,5) 534 2
2 [537,5; 544,5) 541 5
3 [544,5; 551,5) 548 10
4 [551,5; 558,5) 555 11
5 [558,5; 565,5) 562 12
6 [565,5; 572,5) 569 13
7 [572,5; 579,5) 576 3
8 [579,5; 586,5] 583 4
Построить полигон и гистограмму.
Для построения графиков составим таблицу
i
Границы интервала Середина интервала,
xi
Частота,
ni
Относительная частота,
wi
nih
wih
1 [530,5; 537,5) 534 2 0,0333 0,2857 0,0048
2 [537,5; 544,5) 541 5 0,0833 0,7143 0,0119
3 [544,5; 551,5) 548 10 0,1667 1,4286 0,0238
4 [551,5; 558,5) 555 11 0,1833 1,5714 0,0262
5 [558,5; 565,5) 562 12 0,2 1,7143 0,0286
6 [565,5; 572,5) 569 13 0,2167 1,8571 0,031
7 [572,5; 579,5) 576 3 0,05 0,4286 0,0071
8 [579,5; 586,5] 583 4 0,0667 0,5714 0,0095
Ломанная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами x1, n1,…,x8,n8 называется полигоном частот.
Ломанная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами x1, w1,…,x8,w8 называется полигоном относительных частот.
Гистограмма частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы шириной h=7, а высотами отрезки длиной nih.
Гистограмма относительных частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы шириной h=7, а высотами отрезки длиной wih.
Найти выборочные моду и медиану.
Выборочную моду и медиану найдем по вариационному ряду.
Мода – варианта, имеющая наибольшую частоту
M0=560
Медиана – варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.
Так как число вариант n=2k=2∙30=60 четно, тогда медиана
me=xk+xk+12=x30+x312=560+5602=560
Найти выборочное среднее, дисперсию и СКО.
Выборочное среднее
x=1nxini=160534∙2+541∙5+548∙10+555∙11+562∙12+569∙13+576∙3+583∙4=1601068+2705+5480+6105+6744+7397+1728+2332=3355960≈559,3167
Выборочная дисперсия
D*=σ*2=x2-x2=1nxi2ni-x2=1605342∙2+5412∙5+5482∙10+5552∙11+5622∙12+5692∙13+5762∙3+5832∙4-559,31672≈160570312+1463405+3003040+3388275+3790128+4208893+995328+1359556-312835,1709=1877893760-312835,1709≈147,1124
Выборочное среднее квадратическое отклонение
σ*=D*=147,1124≈12,129
Исправленная выборочная дисперсия
s2=nn-1∙D*=6059∙147,1124≈149,6058
Исправленное среднее квадратическое отклонение
s=s2=149,6058≈12,2313
Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия Пирсон на уровне значимости α=0.1.
Объединим малочисленные интервалы - первый и второй интервалы, а также седьмой и восьмой.
i
Границы интервала
ai;bi
Частота,
ni
Относительная частота,
wi
1 [530,5; 544,5) 7 0,1167
2 [544,5; 551,5) 10 0,1667
3 [551,5; 558,5) 11 0,1833
4 [558,5; 565,5) 12 0,2
5 [565,5; 572,5) 13 0,2167
6 [572,5; 586,5] 7 0,1167
Найдем теоретические частоты по формуле
ni'=npi=nФbi-xσ*-Фai-xσ*
Ф - функция Лапласа (находим по таблице).
Тогда
n1'=60∙Ф544,5-559,316712,129-Ф530,5-559,316712,129≈60∙Ф-1,22-Ф-2,38=60∙-0,3888+0,4913=60∙0,1025=6,15
n2'=60∙Ф551,5-559,316712,129-Ф544,5-559,316712,129≈60∙Ф-0,64-Ф-1,22=60∙-0,2389+0,3888=60∙0,1499=8,994
n3'=60∙Ф558,5-559,316712,129-Ф551,5-559,316712,129≈60∙Ф-0,07-Ф-0,64=60∙-0,0279+0,2389=60∙0,211=12,66
n4'=60∙Ф565,5-559,316712,129-Ф558,5-559,316712,129≈60∙Ф0,51-Ф-0,07=60∙0,195+0,0279=60∙0,2229=13,374
n5'=60∙Ф572,5-559,316712,129-Ф565,5-559,316712,129≈60∙Ф1,09-Ф0,51=60∙0,3621-0,195=60∙0,1671=10,026
n6'=60∙Ф586,5-559,316712,129-Ф572,5-559,316712,129≈60∙Ф2,24-Ф1,09=60∙0,4875-0,3621=60∙0,1254=7,524
Результаты вычислений можно проверить, просуммировав теоретические частоты