Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее:
а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
в) методом Гаусса.
2x+y+2z=52x-y-z=10-3x+2y-z=8
Решение
А) по формулам Крамера;
A=2 1 22 -1 -1-3 2 -1
BT=(5,10,8)
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.
∆=2*-1*-1-2*-1-2*1*-1-2*2+-3*1*-1--1*2=13
Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.
5 1 210 -1 -18 2 -1
Найдем определитель полученной матрицы.
∆=5*((-1)*(-1)-2*(-1))-10*(1*(-1)-2*2)+8*(1*(-1)-(-1)*2) = 73
x1=∆1∆=7313=5.615
Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.
2 5 22 10 -1-3 8-1
Найдем определитель полученной матрицы.
∆= 2*10*-1-8*-1-2*5*-1-8*2+-3*5*-1-10*2= 113
x2=∆2∆=11313=8.692
Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В.
2 1 52 -1 10-3 2 8
Найдем определитель полученной матрицы.
∆=2*-1*8-2*10-2*1*8-2*5+-3*1*10--1*5= -97
x3=∆3∆=-9713=-7.462
Проверка.
2*5.615+1*8.692+2*-7.462= 52*5.615-1*8.692-1*-7.462= 10-3*5.615+2*8.692-1*(-7.462) = 8
б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
A=2 1 22 -1 -1-3 2 -1
BT=(5,10,8)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1
. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.Найдем главный определитель.
∆=2*-1*-1-2*-1-2*1*-1-2*2+-3*1*-1--1*2=13
Итак, определитель 13 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.Пусть имеем невырожденную матрицу А:
A=a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
Тогда:
A-1=1∆A11 A12 A13A21 A22 A23A31 A32 A33
где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:
AT=2 2 -32 -1 22 -1 -1
Вычисляем алгебраические дополнения.
A1,1T=(-1)1+1-1 2-1 -1
∆1,1=(-1•(-1)-(-1•2))=3
A1,2T=(-1)1+21 22 -1
∆1,2=-(1•(-1)-2•2)=5
A1,3T=(-1)1+31 -12 -1
∆1,3=(1•(-1)-2•(-1))=1
A2,1T=(-1)2+12 -3-1 -1
∆2,1=-(2•(-1)-(-1•(-3)))=5
A2,2T=(-1)2+22 -32 -1
∆2,2=(2•(-1)-2•(-3))=4
A2,3T=(-1)2+32 22 -1
∆2,3=-(2•(-1)-2•2)=6
A3,1T=(-1)3+12 -31 2
∆3,1=(2•2-(-1•(-3)))=1
A3,2T=(-1)3+22 31 2
∆3,2=-(2•2-1•(-3))=-7
A3,3T=(-1)3+3-1 2-1 -1
∆3,3=(2•(-1)-1•2)=-4
Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C:
С=3 5 15 4 61 -7 -4
Вычислим обратную матрицу:
A-1=1133 5 15 4 61 -7 -4
Вектор результатов XX=A-1*B
X=1133 5 15 4 61 -7 -4*5108
X=1133*5+5*10+(1*8)5*5+4*10+(6*8)1*5+-7*10+(-4*8)
X=11373113-97
XT=5.62,8.69,-7.46
Проверка.
2*5.615+1*8.692+2*-7.462= 52*5.615-1*8.692-1*-7.462= 10-3*5.615+2*8.692-1*(-7.462) = 8
в) методом Гаусса.
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
2 1 2 52 -1 -1 10-3 2 -1 8
Умножим 2-ю строку на (-1)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
