Исследовать функцию на экстремум z=3x2-2xy+y-8x+8

Найдем критические точки из системы уравнений:
∂z∂x=0∂z∂y=0
∂z∂x=(3x2-2xy+y-8x+8)x'=6x-2y-8
∂z∂y=(3x2-2xy+y-8x+8)y'=-xy+1
6x-2y-8=0-xy+1=0
6y-2y-8=0x=y
4y=8x=y
x=2y=4
Получили критическую точку:
M2;4
Вычислим частные производные второго порядка:
∂2z∂x2=6x-2y-8x'=6
∂2z∂y2=-xy+1y'=x2y3
∂2z∂x∂y=-xy+1x'=-1y
Вычислим значение частных производных второго порядка в критических точках:
A=∂2z∂x2M=6 C=∂2z∂y2M=18 B=∂2z∂x∂yM=-12
Вычислим значение выражения:
AC-B2=34-14=12
Так как AC-B2>0 и A>0 то в точке M имеется минимум
zmax=zM=12-8+4-16+8=0