Проверить наличие аномальных наблюдений используя метод Ирвина (α=5%)

Проверим наличие аномальных наблюдений.
Проверим наличие аномальных наблюдений с помощью критерия Ирвина:
Рассчитываем коэффициенты анормальности наблюдений (критерий Ирвина): 
, ,
Если превышает табличное значение, то уровень считается аномальным и такие наблюдения нужно исключить из временного ряда и заменить их расчетными значениями (например, среднее из соседних значений). Рассчитаем коэффициенты критерия Ирвина:
, ,
λi
0,1
0,1
0,2
0,2
0,2
0,4
0,4
0,6
0,2
0,3
0,6
Табличное значение критерия Ирвина при , .
Так как имеется одно значения критерия Ирвина которое равно табличному значению, значит, уровни можно принять не аномальным и их не следует удалить из рассмотрения.
Построить линейную модель Y(t) = a0 + a1t, параметры которой оценить МНК. Пояснить смысл коэффициента регрессии.

Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда):
Для вычисления параметров модели следует воспользоваться формулами. Промежуточные расчеты приведены в таблице 1.
Табл. 1.
№ t Y Остатки
1 1 9221 -33541,42 -5,5 30,25 184477,79 1585,13 7635,87 58306538,07
2 2 12280 -30482,42 -4,5 20,25 137170,88 9071,91 3208,09 10291854,76
3 3 15839 -26923,42 -3,5 12,25 94231,96 16558,69 -719,69 517950,31
4 4 20534 -22228,42 -2,5 6,25 55571,04 24045,47 -3511,47 12330403,06
5 5 25927 -16835,42 -1,5 2,25 25253,13 31532,25 -5605,25 31418794,90
6 6 32543 -10219,42 -0,5 0,25 5109,71 39019,03 -6476,03 41938923,20
7 7 42444 -318,42 0,5 0,25 -159,21 46505,81 -4061,81 16498272,26
8 8 53937 11174,58 1,5 2,25 16761,88 53992,59 -55,59 3089,83
9 9 70308 27545,58 2,5 6,25 68863,96 61479,37 8828,63 77944778,88
10 10 65303 22540,58 3,5 12,25 78892,04 68966,15 -3663,15 13418636,33
11 11 74411 31648,58 4,5 20,25 142418,63 76452,93 -2041,93 4169459,37
12 12 90402 47639,58 5,5 30,25 262017,71 83939,71 6462,29 41761255,01
сумма 78 513149 0,00 0 143 1070609,5 513149 0,00 308599955,98
среднее 6,5 42762,42 0,00 0,00
89217,46
0,00

,
= 42762,42+7496,78 ∙ 6,5= – 5901,65.
Кривая роста зависимости оборота розничной торговли на душу населения (в фактически действовавших ценах) от сроков (времени) имеет вид:
.
При увеличении времени t на 1 год оборот розничной торговли на душу населения (в фактически действовавших ценах) увеличивается в среднем на 7486,78 руб .
Оценить адекватность посторенной модели на основе предпосылок теоремы Гаусса-Маркова.
Выполнение предпосылок МНК может проверяться с помощью R/Sкритерия
,
где  соответственно наибольший и наименьший остатки с учетом знака; 
среднее квадратическое (стандартное) отклонение ряда остатков:
.
Остатки признаются нормально распределенными, если .
где критические границы  и числа наблюдений-критерия для принятого уровня значимости  .
Значения остатков регрессии были получены в EXCEL при проведении регрессионного анализа . Наибольший и наименьший остатки составляют: . Среднее квадратическое отклонение остатков равно
,
а  критерий
Расчетное значение попадает в интервал (2,7 – 3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.
Проверим выполнимость предпосылок МНК на гетероскедастичность с помощью критерия Голдфельда – Квандта:
В упорядоченных по возрастанию переменной Х исходных данных () выделим первые m=123=4,0≈4 и последние 4 уровней, средние 4 уровня не рассматриваем.
С помощью программы ЛИНЕЙН построим модель по первым четырем наблюдениям (регрессия-1),
ЛИНЕЙН
3749,8 5094
262,55453 719,0351869
0,9902901 587,0897717
203,97511 2
70305000 689348,8
для этой модели остаточная сумма квадратов .
С помощью программы ЛИНЕЙН построим модель по последним пяти наблюдениям (регрессия-2),
ЛИНЕЙН
6939 2246,5
3358,8934 35467,75136
0,6809074 7510,713981
4,2677732 2
240748605 112821649
для этой модели остаточная сумма квадратов .
Рассчитаем статистику критерия: .
Критическое значение при уровне значимости и числах степеней свободы составляет (функция F.ОБР.ПХ).
Схема критерия:
Сравним , следовательно, свойство постоянства дисперсии остатков не выполняется, модель гетероскедастичная.
Проверить регрессию на отсутствие автокорреляции остатков (Тест Дарбина - Уотсона).
Для расчета статистики DW проведем расчет в таблицей 2.
Таблица 2.
№ у уоцен ei2 ei-ei-1 (ei-ei-1)2
1 9221 1585,128205 58306538,07
2 12280 9071,907925 10291854,76 -4427,780 19605233,251
3 15839 16558,68765 517950,3074 -3927,780 15427453,531
4 20534 24045,46737 12330403,06 -2791,780 7794034,007
5 25927 31532,24709 31418794,9 -2093,780 4383913,517
6 32543 39019,02681 41938923,2 -870,780 758257,321
7 42444 46505,80653 16498272,26 2414,220 5828459,559
8 53937 53992,58625 3089,830865 4006,220 16049800,930
9 70308 61479,36597 77944778,88 8884,220 78929369,979
10 65303 68966,14569 13418636,33 -12491,780 156044560,580
11 74411 76452,92541 4169459,372 1621,220 2628355,195
12 90402 83939,70513 41761255,01 8504,220 72321762,566
∑ei2= 308599956 ∑(ei-ei-1)2= 379771200,4
Значение DW рассчитаем по формуле:
Определим граничные значения dL и dU статистик Дарбина-Уотсона при уровне значимости α=0,05 и построим на их основании соответствующие отрезки на интервале от 0 до 4. Значения dL и dU выбираются при k=1 и n =12:
dL = 0,97dU =1,33
cov>0 ? cov=0 ? cov<0
         
0 dL dU 4-dU 4-dL 4
0 0,97 1,33 2,67 3,03 4
Рисунок 1 – Интервальная шкала оценки статистики DW
Как видно из рисунка 1, полученное значение DW попадает в отрезок (0,97; 1,33), следовательно определить наличие автокорреляция не представляется возможным, требуются дополнительные исследования.
4) Оценить качество модели, используя среднюю относительную погрешность аппроксимации, критерий Фишер и коэффициент детерминации.
Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации
Таблица 3.
Номер
наблюдения
1 1585,128205 7635,871795 0,828
2 9071,907925 3208,092075 0,261
3 16558,68765 -719,6876457 0,045
4 24045,46737 -3511,467366 0,171
5 31532,24709 -5605,247086 0,216
6 39019,02681 -6476,026807 0,199
7 46505,80653 -4061,806527 0,096
8 53992,58625 -55,58624709 0,001
9 61479,36597 8828,634033 0,126
10 68966,14569 -3663,145688 0,056
11 76452,92541 -2041,925408 0,027
12 83939,70513 6462,294872 0,071
Сумма 2,098
- уровень точности модели удовлетворительный.
Коэффициент детерминации R-квадрат определен программой РЕГРЕССИЯ и составляет R2 = 0,963 = 96,3% .
Таким образом, вариация (изменение) оборота розничной торговли на душу населения (в фактически действовавших ценах) Y на 96,3% объясняется по полученному уравнению вариацией времени.
Проверим значимость полученного уравнения с помощью F – критерия Фишера.
F – статистика определена программой РЕГРЕССИЯ и составляет .
Критическое значение Fкр= 4,96 найдено для уровня значимости =5% и чисел степеней свободы k1=p=1, k2=n-p-1=10 (F.ОБР.ПХ(5%; 1; 10).
Сравнение показывает: F = 259,73>Fкр= 4,96; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.
5) Осуществить прогнозирование рассматриваемого показателя на год вперед (прогнозный интервал рассчитать при доверительной вероятности 70%).
Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора :

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал