Данные каждого варианта определяется параметрами p1. При выполнении контрольных заданий студент должен подставить там, где это необходимо, вместо буквенных параметров индивидуальные анкетные характеристики: p1– число букв в полном имени студента.
Номер месяца, руб., x Среднедневная выработка, т, y
1 1,37+р1
2 5,32+р1
3 10,17+р1
4 15,92+р1
5 22,57+р1
6 30,12+р1
7 38,57+р1
8 47,92+р1
9 58,17+р1
10 69,32+р1
В соответствии с вариантом задания, используя статистический материал, необходимо:
1. Рассчитать параметры уравнения нелинейной парной регрессии.
2. Оценить тесноту связи зависимой переменной (результативного фактора) с объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминации.
3. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность моделирования.
4. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
5. Определить среднюю ошибку аппроксимации.
6. Используя коэффициент эластичности, выполнить количественную оценку влияния объясняющего фактора на результат.
7. На одном графике отложить исходные данные и теоретическую прямую.
8. Проверить вычисления в MS Excel.
Решение
Заполним таблицу согласно своему имени: Маргарита – 9, р1 -9.
Номер месяца, руб., x Среднедневная выработка, т, y
1 10,37
2 14,32
3 19,17
4 24,92
5 31,57
6 39,12
7 47,57
8 56,92
9 67,17
10 78,32
1. Для выбора наилучшей модели нелинейной парной регрессии с помощью Мастера Диаграмм Excel построим поле корреляции и нанесем на него тренды.
Рисунок 3. Поле корреляции
Как видно из построенного нами поля корреляции наиболее точно зависимость средней выработки от месяца описывается экспоненциальным трендом.
Нелинейная экспоненциальная модель регрессии имеет вид:
Y=a*eb
Логарифмическая форма тренда имеет вид:
y = а + b*log(х).
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу:
x ln(y) x2 ln(y)2 x * ln(y)
1 2.3389 1 5.4705 2.3389
2 2.6617 4 7.0844 5.3233
3 2.9533 9 8.7223 8.86
4 3.2157 16 10.3405 12.8627
5 3.4522 25 11.9177 17.261
6 3.6666 36 13.4442 21.9998
7 3.8622 49 14.9166 27.0354
8 4.0416 64 16.3349 32.3332
9 4.2072 81 17.7008 37.865
10 4.3608 100 19.0166 43.608
55 34.7603 385 124.9486 209.4875
Для наших данных система уравнений имеет вид:
10*a + 55*b = 34,76
55*a + 385*b = 209,487
Домножим уравнение системы на (-5,5), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.
-55*a -302,5*b = -191.182
55*a + 385*b = 209,487
Получаем:
82,5*b = 18,306
Откуда b = 0,2219
Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения:
10*a + 55*b = 34,76
10*a + 55*0,2219 = 34,76
10*a = 22,556
a = 2,2556
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0,2219, a = 2,2556
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
y = e2.2556484e0.2219x = 9.54148e0.2219x
Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
2. Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии. Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:
EQ R = \r(1 - \f(∑(yi - yx)2; ∑(yi - \x\to(y))2) )
EQ R = \r(1 - \f(127.2;4809.63)) = 0.99
Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y.
В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление
. Изменяется в пределах [0;1].
Величину R2 (равную отношению объясненной уравнением регрессии дисперсии результата у к общей дисперсии у) для нелинейных связей называют индексом детерминации.
Чаще всего, давая интерпретацию индекса детерминации, его выражают в процентах.
EQ R2 = 1 - \f(∑(yi - yx)2; ∑(yi - \x\to(y))2)
EQ R2 = 1- \f(127.2;4809.63) = 0.974
т.е. в 97,36% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 2,64% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).
Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу:
x y y(x) (yi-ycp)2 (y-y(x))2 |y - yx|:y
1 10.37 11.912 816.531 2.377 0.149
2 14.32 14.871 606.391 0.304 0.0385
3 19.17 18.566 391.051 0.365 0.0315
4 24.92 23.178 196.701 3.035 0.0699
5 31.57 28.936 54.391 6.938 0.0834
6 39.12 36.125 0.0306 8.972 0.0766
7 47.57 45.099 74.391 6.105 0.0519
8 56.92 56.303 323.101 0.38 0.0108
9 67.17 70.291 796.651 9.738 0.0465
10 78.32 87.753 1550.391 88.982 0.12
55 389.45 393.033 4809.626 127.197 0.678
3. Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1) Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H0: R2=0 на уровне значимости α.
2) Далее определяют фактическое значение F-критерия:
EQ F = \f(R2;1 - R2)\f((n - m -1);m)
EQ F = \f(0.9736;1 - 0.9736)\f((10-1-1);1) = 294.5
или по формуле:
EQ F = \f(∑(yx - \x\to(y))2;∑(yi - yx)2) \f((n - m -1);m) = EQ \f(4682.43;127.2)·\f((10-1-1);1) = 294.492
EQ ∑(yx - \x\to(y))2 = 4809.63 - 127.2 = 4682.43
3) Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
