По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:
№
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 7 3,6 12 25,2 84 43,2 12,96 144 49
2 7 4,1 14 28,7 98 57,4 16,81 196 49
3 7 4,3 16 30,1 112 68,8 18,49 256 49
4 7 4,4 17 30,8 119 74,8 19,36 289 49
5 7 4,5 18 31,5 126 81,0 20,25 324 49
6 8 4,8 19 38,4 152 91,2 23,04 361 64
7 8 5,3 20 42,4 160 106,0 28,09 400 64
8 8 5,6 20 44,8 160 112,0 31,36 400 64
9 9 6,7 21 60,3 189 140,7 44,89 441 81
10 10 6,9 22 69 220 151,8 47,61 484 100
11 10 7,2 23 72 230 165,6 51,84 529 100
12 11 7,6 25 83,6 275 190,0 57,76 625 121
13 12 7,8 26 93,6 312 202,8 60,84 676 144
14 11 7,9 28 86,9 308 221,2 62,41 784 121
15 12 8,2 30 98,4 360 246,0 67,24 900 144
16 12 8,4 31 100,8 372 260,4 70,56 961 144
17 12 8,6 32 103,2 384 275,2 73,96 1024 144
18 13 8,8 32 114,4 416 281,6 77,44 1024 169
19 13 9,2 33 119,6 429 303,6 84,64 1089 169
20 14 9,6 34 134,4 476 326,4 92,16 1156 196
Сумма 198 133,5 473 1408,1 4982 3399,7 961,71 12063 2070
Ср. знач. 9,9 6,675 23,65 70,4 249,1 169,99 48,09 603,15 103,5
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
2,343
1,879
6,620
Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.
Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии
необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :
либо воспользоваться готовыми формулами:
;;
.
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
0,982
0,965
0,975
Находим
1,035
0,055
1,686
Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:
Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:
0,830
0,156
Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:
.
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:
.
Вычисляем:
0,698
0,132
Т.е . увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,698% или 0,132% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .
Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:
0,982
0,965
0,975
Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. 0,975 > 0,7). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.
При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:
0,707
0,185
Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.
Коэффициент множественной корреляции определим через матрицу парных коэффициентов корреляции:
,
где
–
определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
– определитель матрицы межфакторной корреляции.
Для матрицы размером 3 3 определитель находится по формуле треугольников:
r = 1 0,982 0,965 =
0,982 1 0,975 0,965 0,975 1
= 1 · 1 · 1 + 0,965 · 0,982 · 0,975 + 0,982 · 0,975 · 0,965 –
– 0,965 · 1 · 0,965 – 0,982 · 0,982 · 1 – 1 · 0,975 · 0,975 = 0,0017
r11 = 1 0,975 = 1 – 0,9752 = 0,0503
0,975 1
Коэффициент множественной корреляции
0,983.
Аналогичный результат получим при использовании других формул:
.
Для вычисления остаточной дисперсии вычислим расчетные значения и значение в двух последних столбцах следующей таблицы:
№
1 7 3,6 12 6,074 0,857
2 7 4,1 14 6,702 0,089
3 7 4,3 16 7,020 0,000
4 7 4,4 17 7,178 0,032
5 7 4,5 18 7,337 0,114
6 8 4,8 19 7,703 0,088
7 8 5,3 20 8,276 0,076
8 8 5,6 20 8,586 0,343
9 9 6,7 21 9,779 0,607
10 10 6,9 22 10,041 0,002
11 10 7,2 23 10,407 0,166
12 11 7,6 25 10,932 0,005
13 12 7,8 26 11,194 0,650
14 11 7,9 28 11,408 0,166
15 12 8,2 30 11,829 0,029
16 12 8,4 31 12,091 0,008
17 12 8,6 32 12,354 0,125
18 13 8,8 32 12,560 0,193
19 13 9,2 33 13,030 0,001
20 14 9,6 34 13,499 0,251
Сумма 198 133,5 473
3,803
Ср