При изучении зависимости потребления материалов (т) у от энерговооруженности труда (кВтч на одного рабочего) x1 и объема произведенной продукции (тыс. ед.) x2 по 25 предприятиям получены следующие данные, представленные в таблице 5.
Таблица 5 – Исходные данные
Признак Среднее значение Среднее квадратическое отклонение Парный коэффициент корреляции
y
12 2 ryx1=0,52
x1
4,3 0,5 ryx2=0,84
x2
10,0 1,8 rx1x2=0,43
Требуется:
Построить уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе и в естественной форме.
Рассчитайте частные коэффициенты эластичности.
Рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции.
Оцените значимость уравнения регрессии в целом с помощью F – критерия Фишера.
Решение
Построить уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе и в естественной форме.
Линейное уравнение множественной регрессии у от x1 и x2 имеет вид: y=a+b1x1+b2x2. Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе: ty=β1tx1+β2tx2. Расчет β – коэффициентов выполним по формулам:
β1=rx1y-rx2yrx1x21-rx1x22=0,52-0,84×0,431-0,432=0,195.
β2=rx2y-rx1yrx1x21-rx1x22=0,84-0,52×0,431-0,432=0,756.
Получим уравнение: ty=0,195tx1+0,756tx2.
Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b1 и b2 , используя формулы для перехода от βi к bi:
βi=biσxiσy; bi=βiσyσxi.
Тогда,
b1=β1σyσx1=0,195×20,5=0,779.
b2=β2σyσx2=0,756×21,8=0,840.
a=y-b1x1-b2x2=12-0,779×4,3-0,840×10=0,247.
Таким образом, получим уравнение множественной регрессии в естественном виде: y =0,247+0,779 ×x1 + 0,840×x2.
Рассчитайте частные коэффициенты эластичности.
Рассчитаем коэффициенты эластичности:
Э1=b1×x1y=0,779×4,312=0,279;
Э2=b2×x2y=0,840×1012=0,700.
С увеличением энерговооруженности труда x1 на 1% от ее среднего уровня потребление материалов у возрастет на 0,279 % от своего среднего уровня; при увеличении объема произведенной продукции x2 на 1 % потребление материалов у увеличивается на 0,7 % от своего среднего уровня
. Очевидно, что сила влияния объема произведенной продукции x2 на потребление материалов у оказалась больше, чем сила влияния энерговооруженности x1. К аналогичным выводам о силе связи приходим при сравнении модулей значений β1 и β2.
Рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции.
Линейные коэффициенты частной корреляции здесь рассчитываются по рекуррентной формуле:
rx1y/x2=rx1y-rx2y×rx1x21-rx2y2(1-rx1x22)=0,52-0,84×0,43(1-0,842)(1-0,432)=0,324;
rx2y/x1=rx2y-rx1y×rx1x21-rx1y2(1-rx1x22)=0,84-0,52×0,43(1-0,522)(1-0,432)=0,799;
rx2x1/y=rx1x2-rx1y×rx2y1-rx1y2(1-rx2y2)=0,43-0,84×0,52(1-0,842)(1-0,522)=-0,015.
При сравнении значений коэффициентов парной и частной корреляции приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной связи (rx1x2=0,43) коэффициенты парной и частной корреляции отличаются незначительно: выводы о тесноте и направлении связи на основе коэффициентов парной и частной корреляции совпадают.
Расчет линейного коэффициента множественной корреляции:
Ryx1x2=rx1y×β1+rx2y×β2=0,52×0,195+0,84×0,756=0,858.
Зависимость у от x1 и x2 характеризуется как тесная, в которой 73,7% вариации потребления материалов определяются вариацией учтенных в модели факторов: энерговооруженности труда и объема произведенной продукции
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
