Построить модель парной линейной регрессии y = a + bx +e

1. Для наглядности построим график наблюдаемых (эмпирических) данных (так называемое поле корреляции):
Для этого на плоскость наносим пары точек с координатами (х, у):
Видим, что точки вытянуты вдоль воображаемой возрастающей прямой линии, значит переменные х и у предположительно связаны между собой линейной прямой зависимостью.
Найдем параметры модели парной линейной регрессии в виде , для этого применяем формулы для параметров регрессии:
; .
Вычислим необходимые суммы для числителя и знаменателя, для этого составим расчетную таблицу.
В предпоследнем столбце вычислим расчетные значения , подставив в найденное уравнение наблюдаемые значения х, а в последнем столбце вычислим остатки регрессии (ошибки) .
№ х у
1 23,3 55 -7,4545 -13,2727 98,94215 55,57025 176,1653 50,64503 -4,354974
2 30,1 64 -0,6545 -4,2727 2,796694 0,42843 18,2562 66,72493 2,724929
3 31 73 0,2455 4,7273 1,160331 0,060248 22,34711 68,85315 -4,146848
4 24 58 -6,7545 -10,2727 69,3876 45,62388 105,5289 52,30031 -5,699689
5 36,9 79 6,1455 10,7273 65,92397 37,76661 115,0744 82,80483 3,804832
6 24,1 49 -6,6545 -19,2727 128,2512 44,28298 371,438 52,53678 3,536780
7 36,8 85 6,0455 16,7273 101,124 36,54752 279,8017 82,56836 -2,431637
8 21,2 46 -9,5545 -22,2727 212,8058 91,28934 496,0744 45,67917 -0,320826
9 27,3 51 -3,4545 -17,2727 59,66942 11,93388 298,3471 60,10379 9,103793
10 41,4 94 10,6455 25,7273 273,8785 113,3257 661,8926 93,44594 -0,554056
11 42,2 97 11,4455 28,7273 328,7967 130,9984 825,2562 95,3377 -1,662303
Сумма 338,3 751
1342,736 567,8273 3370,182 751 0,00000
Среднее 30,7545 68,2727
Подставляем в формулы рассчитанные значения, получим искомые параметры регрессии:
;
.
Таким образом, искомое уравнение регрессии такое:
.
Анализируя уравнение регрессии, делаем вывод, что с увеличением факторной переменной х на одну единицу, значение результата у возрастает в среднем на 2,365 единиц.
Свободный член -4,452 показывает влияние на переменную Y других, не учтенных в модели факторов, или, если позволяет экономический смысл задачи, то показывает значение результата при х = 0.
2 . Построим линию регрессии на поле корреляции, для этого откладываем на поле корелляции модельные значениям , которые мы вычислили по найденному уравнению регрессии в предпоследнем столбце расчетной таблицы.
Видим, то наблюдаемые значения (красные точки) действительно, вытянуты вдоль прямой, при этом зависимость прямая, так как с ростом х значения у тоже растут.
3