1) Построить математическую модель задачи оптимизации производства.
2) Найти решение симплекс-методом.
3) Построить двойственную задачу, проанализировать результат.
Магазин реализует три вида продукции П1, П2, П3. Для этого используется два ограниченных ресурса – полезная площадь помещений, которая с учетом коэффициента оборачиваемости составляет 450 м2, и рабочее время работников магазина – 600 человеко-часов. Товарооборот должен быть не менее 240 000 у.е. Необходимо разработать план товарооборота, доставляющего максимум прибыли. Затраты ресурсов на реализацию и полученная при этом прибыль представлены в таблице.
Ресурсы Затраты ресурсов на реализацию, тыс. у.е. Объем ресурсов
П1
П2
П3
Полезная площадь, м2
1,5 2 3 450
Рабочее время, человекочас
3 2 1,5 600
Прибыль, тыс. у.е. 50 65 70
Решение
Обозначим: x1 – объем продукции П1
x2 – объем продукции П2
x3 – объем продукции П3
Запишем ограничения:
1,5x1+2x2+3x3≤450-ограничения по полезной площади
3x1+2x2+1,5x3≤600-ограничения рабочему времени
x1+x2+x3≥240-ограничения по товарообороту
x1≥0
x2≥0
x3≥0
Fx=50x1+65x2+70x3→max – целевая функция – максимальная прибыль
Экономико-математическая модель задачи имеет вид:
1,5x1+2x2+3x3≤450 3x1+2x2+1,5x3≤600 x1+x2+x3≥240x1≥0, x2≥0, x3≥0
Fx=50x1+65x2+70x3→max
Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных – запишем систему в канонической форме
. В 3-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную со знаком минус, получим
1,5x1+2x2+3x3+x4=450 3x1+2x2+1,5x3+x5=600 x1+x2+x3-x6=240
Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:
х1
х2
х3 х4
х5 х6
1,5 2 3 1 0 0 450
3 2 1,5 0 1 0 600
1 1 1 0 0 -1 240
Преобразуем последнее уравнение:
х1
х2
х3 х4
х5 х6
1,5 2 3 1 0 0 450
3 2 1,5 0 1 0 600
-1 -1 -1 0 0 1 -240
В качестве базисных переменных выберем переменные х4, х5, х6, так как они входят только в одно уравнение и с единичным коэффициентом.
Выразим базисные переменные через остальные
x4=450- 1,5x1-2x2-3x3x5=600- 3x1-2x2-1,5x3 x4= x1+x2+x6-240
Подставим в целевую функцию Fx=50x1+65x2+70x3
Составим первый опорный план.
Базис хi
В х1 х2 х3 х4 х5 х6
Х4
450 1,5 2 3 1 0 0
Х5 600 3 2 1,5 0 1 0
Х6
-240 -1 -1 -1 0 0 1
F 0
Так как в строке свободных членов есть отрицательные значения, базисный план не является опорным, преобразуем таблицу, вместо переменной х6 введем в базис переменную х3, пересчитаем таблицу
Базис хi
В х1
х2
х3 х4
х5 х6
Х4
450-(240*3)/(-1) 1,5-(-1)*3/(-1) 2-(-1)*3/(-1) 3-(-1)*3/(-1) 1-0*3/(-1) 0-0*3/(-1) 0-(1)*3/(-1)
Х5 600-(-240*1,5)/(-1) 3-(-1)*1,5/(-1) 2-(-1)*1,5/(-1) 1,5-(-1)*1,5/(-1) 0-(-0)*1,5/(-1) 1-(0)*1,5/(-1) 0-(1)*1,5/(-1)
Х3 -240/(-1) -1/(-1) -1/(-1) -1/(-1) 0/(-1) 0/(-1) 1/(-1)
F 0
Получим
Базис хi
В х1
х2
х3 х4
х5 х6
Х4
-270 -1,5 -1 0 1 0 3
Х5 240 1,5 0,5 0 0 1 1,5
Х3 240 1 1 1 0 0 -1
F -16800 -20 -5 0 0 0 70
Так как в строке свободных членов есть отрицательные значения, базисный план не является опорным, преобразуем таблицу, вместо переменной х4 введем в базис переменную х2, пересчитаем таблицу
Базис хi
В х1
х2
х3 х4
х5 х6
Х2
270 1,5 1 0 -1 0 -3
Х5 105 0,75 0 0 0,5 1 3
Х3 -30 -0,5 0 1 1 0 2
F -15450 -25/2 0 0 -5 0 55
Так как в строке свободных членов есть отрицательные значения, базисный план не является опорным, преобразуем таблицу, вместо переменной х3 введем в базис переменную х1, пересчитаем таблицу
Базис хi
В х1
х2
х3 х4
х5 х6
Х2
180 0 1 3 2 0 3
Х5 60 0 0 1,5 2 1 6
Х1
60 1 0 -2 -2 0 -4
F -14700 0 0 -25 -30 0 5
Значение F=14700 пока не учитываем
Получаем первый опорный план
Базис хi
В х1
х2
х3 х4
х5 х6
Х2
180 0 1 3 2 0 3
Х5 60 0 0 1,5 2 1 6
Х1
60 1 0 -2 -2 0 -4
F 0 0 0 25 30 0 -5
Данный план не оптимален, т
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
