Положим, изучаемая генеральная совокупность подчиняется нормальному закону распределения. Найдите доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при условии, что дисперсия неизвестна и доверительная вероятность задаётся формулой γ = 0,9 + 0,01i , где i – последняя цифра шифра зачётной книжки.
Вариант 3
Проведено исследование посещаемости интернет-сайта. Несколько часов подряд регистрируется число посетителей, посетивших сайт в течение данного часа. Результаты исследования приведены ниже.
Таблица 3
14 2 6 0 3 6 3 4 3 14
4 7 4 6 7 2 8 11 7 7
3 10 14 0 2 0 4 0 8 3
8 3 8 6 10 6 11 3 2 10
2 6 10 2 4 8 2 10 12 6
6 7 3 0 9 2 0 7 2 11
3 11 12 3 11 13 2 8 0 8
0 9 9 4 11 14 13 3 2 11
4 7 2 13 6 13 7 12 0 13
14 6 4 3 10 11 4 14 7 4
0 8 11 7 2 10 9 0 12 0
Решение
Внесём данные выборки в МS Ехсеl, проведем вычисления:
1. Объем выборки n = 110.
Минимальное значение хmin = 0; максимальное значение хmах = 14;
размах: =14 – 0 = 14.
Поскольку размах довольно велик, составим вариационный ряд по интервалам.
Проведем группировку исходных данных. Количество интервалов подсчитаем по формуле Стерджесса. k = 1+3,322∙lg n k = 1+3,322∙lg 110 7
Так как вычисленное количество интервалов – 7, то выборку разобьем на 7 равных интервалов. Величина отдельного интервала: .
Вычислим частоту каждого интервала, единица, обладающая двойным значением, относится к той группе, где она выступает в роли верхней границы. Получим интервальный статистический ряд:
Интервал
0 2 25
2 4 22
4 6 10
6 8 18
8 10 11
10 12 13
12 14 11
Сумма 110
При построении интервалов начальное значение xнач первого интервала обычно вычисляют по формуле xнач=xmin-0,5*h, конечное значение xкон последнего интервала должно удовлетворять условию xкон-h<xmax<xкон. Но в данном случае минимальное значение равно нулю, а отрицательных значений данная случайная величина принимать не может, поэтому за начало первого интервала берем минимальное значение выборки.
Видим, что частота всех интервалов не меньше пяти, поэтому объединять интервалы не нужно.
Запишем ряд в виде:
Интервал [0; 2] (2; 4] (4; 6] (6; 8] (8; 10] (10; 12] (12; 14]
Частота
25 22 10 18 11 13 11
2
. Вычислим относительные частоты и накопленные относительные частоты. Кроме того, вычислим середины интервалов, а также плотности относительных частот , которые пригодятся нам в дальнейшем:
Номер
инт-ла Интер-вал Середина
интервала
xi
Частота
ni
Относи-тельная частота
ωi
Накопленная относительная
частота
ωiнак
ωih
1 [0; 2] 1 25 0,227 0,227 0,114
2 (2; 4] 3 22 0,200 0,427 0,100
3 (4; 6] 5 10 0,091 0,518 0,045
4 (6; 8] 7 18 0,164 0,682 0,082
5 (8; 10] 9 11 0,100 0,782 0,050
6 (10; 12] 11 13 0,118 0,900 0,059
7 (12; 14] 13 11 0,100 1 0,050
Сумма
110
3. Представим графически статистический ряд в виде гистограммы.
Поскольку исследуем статистический ряд для непрерывной случайной величины, выполним построение гистограммы относительных частот. В роли значения функции, описанной в легенде, выступает плотность относительной частоты ωih.
4. Построим график накопленных относительных частот.
Используем вычисленные накопленные частоты, полученные на предыдущем шаге, и построим график накопленных относительных частот:
5. Составим эмпирическую функцию распределения.
Запишем её, используя данные накопленных относительных частот:
6. Вычислим точечные оценки параметров законов распределения.
Для нахождения числовых характеристик составляем расчетную таблицу.
Вычисления выполним в MS Excel.
Левая
граница Правая
граница Середина
интервала Частоты Произведение середины
интервала
на частоту Произведение квадрата середины
интервала
на частоту
0 2 1 25 25 25
2 4 3 22 66 198
4 6 5 10 50 250
6 8 7 18 126 882
8 10 9 11 99 891
10 12 11 13 143 1573
12 14 13 11 143 1859
Объём выборки: 110 652 5678
Выборочное среднее : 5,93 51,6182
Смещённая выборочная дисперсия:
16,4856
Несмещённая выборочная дисперсия:
16,6369
Смещённое выборочное среднее квадратическое: 4,0602
Несмещённое выборочное среднее квадратическое: 4,0788
Мода Мо = 1,79
Медиана Ме = 5,60
Среднее арифметическое (выборочная средняя):
, n = 110.
Выборочная средняя является несмещенной оценкой.
Выборочная (смещенная) дисперсия:
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
