По заданным вершинам А (–5; 6), В (9; –2), С (–7; –6) треугольника АВС требуется найти:
длину стороны AB;
уравнения сторон AB и AC;
угол A в радианах с точностью до двух знаков;
уравнение высоты BD, проведённой из вершины B к стороне AC и её длину;
уравнение медианы CM, проведённой из вершины C к стороне AB;
уравнение прямой BP, проходящей через точку B параллельно стороне AC;
координаты точки E пересечения медиан треугольника.
Сделать чертёж.
Ответ
AB≈16,12(ед.)
AB: 7y+4x-22=0 AC: y-6x-36=0
A=1,22 rad
BD: x+6y+3=0 BD≈15,12 (ед.)
CM: 3y-8x-2=0
BP: y-6x+56=0
Е -1; -23
Решение
Длина стороны АВ.
Расстояние между точками А (x1;y1) и В (x2;y2) определяется по формуле:
d=(x2-x1)2+(y2-y1)2
AB=(9-(-5))2+(-2-6)2=142+(-8)2=260≈16,12(ед.)
Уравнения сторон АВ и АС.
Прямая, проходящая через точки А (x1;y1) и В (x2;y2), представляется следующим уравнением.
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1
Получим:
x-(-5)9-(-5)=y-6-2-6
x+514=y-6-8
14y-6=-8(x+5)
14y-84=-8x-40
14y=-8x+44
AB: y=-8x+4414=-47x+227 или 7y+4x-22=0
Угловой коэффициент k=-47
Прямая, проходящая через точки A (x1;y1) и C (x2;y2), представляется следующим уравнением.
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1
Получим:
x-(-5)-7-(-5)=y-6-6-6
x+5-2=y-6-12
-2y-6=-12(x+5)
-2y+12=-12x-60
-2y=-12x-72
AC: y=-12x-72-2=6x+36 или y-6x-36=0
Угловой коэффициент k=6
Внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01.
Найдем угол А как угол между двумя прямыми АВ и АС.
Угол между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y=k1x+b1 и y=k2x+b2 вычисляется по формуле
tgB=k2-k11+k2k1
Угловые коэффициенты равны: k1=-47, k2=6
Следовательно, угол будет равен:
tgB=6--471+-47×6=467-177=-4617=4617
A=arctg4617=1,22 rad
Уравнение высоты ВD и ее длина.
Прямая, проходящая через точку В (x0;y0) и перпендикулярная прямой АС: Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор n̅ (А; В) и представляется уравнением:
x-x0А=y-y0В
Уравнение прямой АC: y-6x-36=0 => А = – 6, В = 1
x-9-6=y-(-2)1
-6(y+2)=x-9
-6y-12=x-9
-6y-x-3=0
BD: x+6y+3=0 или y=-16x-12
Расстояние от точки В (x1;y1) до прямой АС: Ax + By + C = 0 равно абсолютному значению величины:
d=Ax1+By1+CA2+B2
BD=-6×9+1×-2-36(-6)2+12=-9237=9237≈15,12 (ед.)
Уравнение медианы СM
Точка M – середина стороны AB.
Координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
xM=xB+xA2 yM=yB+yA2
xM=9+(-5)2=42=2 yM=6+(-2)2=42=2
Получим точку M с координатами:
M2;2
Прямая, проходящая через точки C (x1;y1) и M (x2;y2), представляется следующим уравнением.
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1
Получим:
x-(-7)2-(-7)=y-(-6)2-(-6)
x+79=y+68
9y+6=8(x+7)
9y+54=8x+56
9y=8x+2
CM: y=89x+29 или 3y-8x-2=0
Уравнение прямой BP, проходящей через точку B параллельно стороне AC
Уравнение прямой, проходящей через точку В (x0;y0) параллельно прямой АС: y=kx+b определяется по формуле:
y-y0=k(x-x0)
В нашем случае:
AC: y=6x+3 =>k=6
В (9;-2)
Получим:
y-(-2)=6(x-9)
y+2=6x-54
BP: y=6x-56 или y-6x+56=0
Координаты точки E пересечения медиан треугольника.
CM: y=89x+29
Определим уравнение еще одной медианы АN.
Точка N – середина стороны ВС.
Координаты точки N найдем по формулам деления отрезка пополам.
xN=xB+xC2 yN=yB+yC2
xN=9+(-7)2=22=1 yN=-6+(-2)2=-82=-4
Получим точку N с координатами:
N1;-4
Прямая, проходящая через точки A (x1;y1) и N (x2;y2), представляется следующим уравнением.
x-(-5)1-(-5)=y-6-4-6
x+56=y-6-10
6y-6=-10(x+5)
6y-36=-10x-50
6y=-10x-14
AN: y=-53x-73 или 3y+5x+7=0
Чтобы найти координаты точки пересечения медиан составим систему уравнений:
y=89x+29y=-53x-73
89x+29=-53x-73
89x+53x=-73-29
239x=-239
x=-1
y=89×-1+29=-69=-23 или y=-53×-1-73=-23
Получили точку Е -1; -23
Чертеж.
ОТВЕТ:
AB≈16,12(ед.)
AB: 7y+4x-22=0 AC: y-6x-36=0
A=1,22 rad
BD: x+6y+3=0 BD≈15,12 (ед.)
CM: 3y-8x-2=0
BP: y-6x+56=0
Е -1; -23
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
