По структурной схеме надежности технической системы в соответствии с вариантом 16 задания

В исходной схеме элементы 7, 8 и 9 соединены параллельно. Учитывая p7=p8=p9, заменяем эти элементы квазиэлементом A, вероятность безотказной работы которого будет равна:
pA=1-1- p7*1-p8*1-p9=1-1- p73. (1)
В исходной схеме элементы 10, 11 и 12 соединены параллельно. Учитывая p10=p11=p12, заменяем эти элементы квазиэлементом B, вероятность безотказной работы которого будет равна:
pB=1-1- p9*1-p10*1-p10=1-1- p103. (2)
В исходной схеме элементы 13 и 14 соединены параллельно. Учитывая p13=p14, заменяем эти элементы квазиэлементом C, вероятность безотказной работы которого будет равна:
pC=1-1- p13*1-p14=1-1- p132. (3)
Преобразованная таким образом схема показана на рисунке 2.
Рисунок 2 – Преобразованная на первом этапе схема
Элементы 2, 3, 5, 6 и 4 на рисунке 2 образуют мостиковую схему, которую можно заменить квазиэлементом D. Для расчета его вероятности безотказной работы воспользуемся методом разложения относительно любого элемента – в данном случае относительно диагонального элемента 4. Тогда:
pD=p4*pDp4=1+q4*pDp4=0, (4)
где pDp4=1 и pDp4=0 – вероятности работы мостиковой схемы (рисунок 2) при абсолютно надежном (рисунок 3, а) и абсолютно ненадежном (рисунок 3, б) элементе 4.
Рисунок 3 – Преобразования мостиковой схемы при абсолютно надежном (а)
и отказавшем (б) элементе 4
Получаем с учетом p2=p3=p5=p6:
pD=p4*1-1-p2*1-p3*1-1-p5*1-p6+
+1-p4*1-1-p2*p5*1-p3*p6=
=p4*1-1-p222+1-p4*1-1-p222=
=p4*1-1+2*p2-p222+1-p4*1-1+2*p22-p24=
=p4*p22*2-p22+1-p4*p22*2-p22=
=p22*p4*2-p22+1-p4*2-p22. (5)
В результате переходим к окончательной схеме.
Рисунок 4 – Окончательно преобразованная схема
В последней схеме имеет место последовательное соединение шести элементов: 1, D, А, B, C и 15. Соответственно вероятность безотказной работы системы будет равна:
P=p1*pD*pA*pB*pC*p15. (6)
Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятности безотказной работы элементов с 1 по 15 (рисунок 1) подчиняются экспоненциальному закону:
pi=e-λi*t. (7)
Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1-15 по формуле (7) для наработки до 0,3*106 ч представлены в таблице 1.
Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов A, B, C и D в формулах (1), (2), (3) и (5) и вероятности безотказной работы Р всей системы в целом также приведены в таблице 1.
На рисунке 5 показан график зависимости вероятности безотказной работы системы P от времени (наработки) t.
По графику (рисунок 5) находим для γ=80 % (Pγ=0,8) γ-процентную наработку системы Tγ=0,13*106 ч. Проверочный расчет при t=0,13*106 ч показывает (таблица 1), что Pγ=0,80275≈0,8.
Исходя из задания, рассчитываем повышенный в 1,5 раза ресурс службы системы:
Tγ'=1,5*Tγ=1,5*0,13*106=0,195*106 ч.
Далее рассмотрим метод, предполагающий увеличение надежности системы за счет увеличения надежности входящих в нее элементов.
По результатам расчета (Таблица 1) видим, что при t=0,195*106 ч для элементов преобразованной схемы (Рисунок 4):
p1=0,98069; pD=0,92448; pA=0,75842;pB=0,91312; pC=0,96861;
p15=0,99030.
Следовательно, из пяти последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент A, поэтому увеличение именно его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.
Для того, чтобы при Tγ'=0,195*106 ч система имела вероятность безотказной работы Pγ=0,8, необходимо, чтобы элемент A имел вероятность безотказной работы:
pA=Pγp1*pD*pB*pC*p15=
=0,80,98069*0,92448*0,91312*0,96861*0,99030=1,0074 . (8)
Вероятности безотказной работы, большей единицы, быть не может. Следовательно, дальнейшее решение поставленной задачи аналитически осуществлено быть не может. Следует осуществлять поиск решения с помощью увеличения надежности нескольких элементов исходной схемы.
В нашем случае имеется два наименее надежных элемента: А и B. Элемент А является параллельным соединением элементов 7,8,9 , а элемент B является параллельным соединением элементов 10,11,12.
Для того, чтобы при Tγ'=0,195*106 ч система имела вероятность безотказной работы Pγ=0,8, необходимо, чтобы элементы A и B имели вероятность безотказной работы:
pA*pB=Pγp1*pD*pC*p15=0,80,98069*0,92448*0,96861*0,99030=
=0,91991. (9)
Поступаем следующим образом: уменьшаем интенсивность отказов как элементов 7,8,9 , так и элементов 10,11,12 в два раза:
λ7'=λ8'=λ9'=5*10-62=2,5*10-6 1ч;
λ10'=λ11'=λ12'=3*10-62=1,5*10-6 1ч.
При новых значениях интенсивностей отказов:
- вероятность безотказной работы квазиэлемента А в соответствии с формулами (1) и (7) составит
pA'=1-1-p7'3=1-1-e-λ7'*t3=1-1-e-2,5*10-6*0,195*1063=
=1-1-e-0,48753=1-1-0,613973=0,94247;
- вероятность безотказной работы квазиэлемента В в соответствии с формулами (2) и (7) составит
pB'=1-1-p10'3=1-1-e-λ10'*t3=1-1-e-1,5*10-6*0,195*1063=
=1-1-e-0,29253=1-1-0,746263=0,98366.
При этом:
pA'*pB'=0,94247*0,98366=0,92707>0,91991.
Таким образом, для заданного увеличения ресурса системы необходимо увеличить надежность элементов 7,8,9 и 10,11,12 и снизить интенсивность их отказов соответственно с 5 до 2,5*10-6 1ч и с 3 до 1,5*10-6 1ч, то есть в 2 раза в обоих группах элементов.
Результаты расчетов для системы с увеличенной надежностью элементов 7,8,9 и 10,11,12 приведены в таблице 1. Там же приведены расчетные значения вероятности безотказной работы квазиэлементов А и B, а также системы в целом P'.
При t=0,195*106 ч вероятность безотказной работы модернизированной системы:
P'=0,80633>0,8 ,
что соответствует условиям задания