По семи предприятиям легкой промышленности получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).
Y 26 28 36 34 38 44 42
X 40 39 43 46 50 53 57
Требуется:
Для характеристики Y от x построить следующие модели:
линейную (для сравнения с нелинейными),
степенную,
показательную,
гиперболическую.
2. Оценить каждую модель, определив:
индекс корреляции,
среднюю относительную ошибку, коэффициент детерминации,
F-критерий Фишера.
3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.
4. Рассчитать прогнозные значения результативного признака по лучшей модели, если объем капиталовложений составит 89,573 млн руб.
5. Результаты расчетов отобразить на графике.
Решение
Построение моделей регрессии
Построение линейной модели парной регрессии.
Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле, используя данные таблицы 1.1:
Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений X и объемом выпуска продукции Y прямая, высокая.
Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷ = a + bx.
Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.1.
Уравнение регрессии имеет вид: ŷ = – 7,09 + 0,91x.
С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 910 тыс. руб. Это свидетельствует о эффективности работы предприятий.
Таблица 1.1
t y x yx
x 2
1 26 40 1040 1600 -9,4286 88,898 -6,8571 47,0204 29,2058 -3,2058 12,3301
2 28 39 1092 1521 -7,4286 55,1837 -7,8571 61,7347 28,2983 -0,2983 1,06549
3 36 43 1548 1849 0,57143 0,32653 -3,8571 14,8776 31,9283 4,07173 11,3103
4 34 46 1564 2116 -1,4286 2,04082 -0,8571 0,73469 34,6507 -0,6507 1,9139
5 38 50 1900 2500 2,57143 6,61224 3,14286 9,87755 38,2807 -0,2807 0,73859
6 44 53 2332 2809 8,57143 73,4694 6,14286 37,7347 41,0031 2,99688 6,81109
7 42 57 2394 3249 6,57143 43,1837 10,1429 102,878 44,6331 -2,6331 6,26918
Итого 248 328 11870 15644 0 269,714 0 274,857 248 0 40,4387
Ср. знач
35,43 46,86 1695,71 2234,86
Рассчитаем коэффициент детерминации:
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,9% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).
Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:
;
F>Fтабл = 6,61 для =0,05; k1 = m = 1, k2 = n – m – 1 = 5.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F >Fтабл.
Определим среднюю ошибку:
.
В среднем расчетные значения ŷ для линейной модели отличаются от фактических значений на 5,78%.
Построение степенной модели парной регрессии
Уравнение степенной модели имеет вид: ŷ = а∙xb.
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных
. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg ŷ= lg a +b lg x. данные приведены в таблице 1.2.
Таблица 1.2
Факт.
Y(t) lg(y) Переменная
X(t) lg(x)
1 26 1,41 40 1,60
2 28 1,45 39 1,59
3 36 1,56 43 1,63
4 34 1,53 46 1,66
5 38 1,58 50 1,70
6 44 1,64 53 1,72
7 42 1,62 57 1,76
28 248 10,80 328 11,67
Сред. знач
35,43 1,54 46,86 1,67
Обозначим Y = lgŷ, X = lg x, A = lg a. тогда уравнение примет вид: Y = A + bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.3.
Таблица 1.3
y
Y
x
X
YX
X2
Ei
26 1,41 40 1,60 2,26687 2,5666 28,9063 -2,9063 11,1779 8,44633
28 1,45 39 1,59 2,30252 2,53149 28,0028 -0,0028 0,01009 8E-06
36 1,56 43 1,63 2,54217 2,66822 31,6507 4,34931 12,0814 18,9165
34 1,53 46 1,66 2,54648 2,76476 34,4443 -0,4443 1,30666 0,19737
38 1,58 50 1,70 2,684 2,8865 38,2413 -0,2413 0,63506 0,05824
44 1,64 53 1,72 2,83377 2,97313 41,1406 2,8594 6,49864 8,17617
42 1,62 57 1,76 2,85022 3,0831 45,0714 -3,0714 7,31283 9,43343
итого 248 10,80 328 11,67 18,026 19,4738 247,457 0,54265 39,0226 45,228
среднее 35,43 1,54 46,86 1,67 2,57515 2,78197
Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = – 0,55 + 1,25X.
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.
Получим уравнение степенной модели регрессии: ŷ = 0,283 x 1,25.
Определим индекс корреляции:
связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.
Коэффициент детерминации равен 0,832:
Вариация результата Y (объем выпуска продукции) на 83,2% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).
Рассчитаем F-критерий Фишера:
F >Fтабл = 6,61 для = 0,05; k1 = m = 1, k2 = n –m –1 = 5.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F >Fтабл.
Средняя относительная ошибка
В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 5,57%.
Построение показательной функции
Уравнение показательной кривой: ŷ = а∙bx.
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
