По семи предприятиям легкой промышленности получена информация

Построение моделей регрессии
Построение линейной модели парной регрессии.
Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле, используя данные таблицы 1.1:
Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений X и объемом выпуска продукции Y прямая, высокая.
Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷ = a + bx.
Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.1.
Уравнение регрессии имеет вид: ŷ = – 7,09 + 0,91x.
С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 910 тыс. руб. Это свидетельствует о эффективности работы предприятий.
Таблица 1.1
t y x yx
x 2
1 26 40 1040 1600 -9,4286 88,898 -6,8571 47,0204 29,2058 -3,2058 12,3301
2 28 39 1092 1521 -7,4286 55,1837 -7,8571 61,7347 28,2983 -0,2983 1,06549
3 36 43 1548 1849 0,57143 0,32653 -3,8571 14,8776 31,9283 4,07173 11,3103
4 34 46 1564 2116 -1,4286 2,04082 -0,8571 0,73469 34,6507 -0,6507 1,9139
5 38 50 1900 2500 2,57143 6,61224 3,14286 9,87755 38,2807 -0,2807 0,73859
6 44 53 2332 2809 8,57143 73,4694 6,14286 37,7347 41,0031 2,99688 6,81109
7 42 57 2394 3249 6,57143 43,1837 10,1429 102,878 44,6331 -2,6331 6,26918
Итого 248 328 11870 15644 0 269,714 0 274,857 248 0 40,4387
Ср. знач
35,43 46,86 1695,71 2234,86
Рассчитаем коэффициент детерминации:
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,9% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).
Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:
;
F>Fтабл = 6,61 для =0,05; k1 = m = 1, k2 = n – m – 1 = 5.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F >Fтабл.
Определим среднюю ошибку:
.
В среднем расчетные значения ŷ для линейной модели отличаются от фактических значений на 5,78%.
Построение степенной модели парной регрессии
Уравнение степенной модели имеет вид: ŷ = а∙xb.
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных . Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg ŷ= lg a +b lg x. данные приведены в таблице 1.2.
Таблица 1.2
Факт.
Y(t) lg(y) Переменная
X(t) lg(x)
1 26 1,41 40 1,60
2 28 1,45 39 1,59
3 36 1,56 43 1,63
4 34 1,53 46 1,66
5 38 1,58 50 1,70
6 44 1,64 53 1,72
7 42 1,62 57 1,76
28 248 10,80 328 11,67
Сред. знач
35,43 1,54 46,86 1,67
Обозначим Y = lgŷ, X = lg x, A = lg a. тогда уравнение примет вид: Y = A + bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.3.
Таблица 1.3
y
Y
x
X
YX
X2
Ei

26 1,41 40 1,60 2,26687 2,5666 28,9063 -2,9063 11,1779 8,44633
28 1,45 39 1,59 2,30252 2,53149 28,0028 -0,0028 0,01009 8E-06
36 1,56 43 1,63 2,54217 2,66822 31,6507 4,34931 12,0814 18,9165
34 1,53 46 1,66 2,54648 2,76476 34,4443 -0,4443 1,30666 0,19737
38 1,58 50 1,70 2,684 2,8865 38,2413 -0,2413 0,63506 0,05824
44 1,64 53 1,72 2,83377 2,97313 41,1406 2,8594 6,49864 8,17617
42 1,62 57 1,76 2,85022 3,0831 45,0714 -3,0714 7,31283 9,43343
итого 248 10,80 328 11,67 18,026 19,4738 247,457 0,54265 39,0226 45,228
среднее 35,43 1,54 46,86 1,67 2,57515 2,78197
Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = – 0,55 + 1,25X.
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.
Получим уравнение степенной модели регрессии: ŷ = 0,283 x 1,25.
Определим индекс корреляции:
связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.
Коэффициент детерминации равен 0,832:
Вариация результата Y (объем выпуска продукции) на 83,2% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).
Рассчитаем F-критерий Фишера:
F >Fтабл = 6,61 для = 0,05; k1 = m = 1, k2 = n –m –1 = 5.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F >Fтабл.
Средняя относительная ошибка
В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 5,57%.
Построение показательной функции
Уравнение показательной кривой: ŷ = а∙bx.
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных