Плотность вероятности случайной величины X имеет вид

Найти параметр a
Плотность вероятности fx должна удовлетворять условию
-∞∞fxdx=1
Для заданной функции
-∞∞fxdx=-∞00dx+05πasinx5dx+5π∞0dx=05πasinx5dx=-5acosx505π=5a+5a=10a=1
10a=1
a=110
Плотность вероятности имеет вид
fx=0, x≤0,110sinx5, 0<x≤5π,0, x>5π.
Найти функцию Fx
Используем формулу
Fx=-∞xftdt
Если x≤0, то fx=0, следовательно,
Fx=-∞x0dt=0
Если 0<x≤5π, то
Fx=-∞00dt+0x110sint5dt=-12cost50x=-12cosx5+12=121-cosx5
Если x>5π, то
Fx=-∞00dt+05π110sint5dt+5πx0dt=-12cost505π=12+12=1
Функция распределения имеет вид
Fx=0, x≤0,121-cosx5, 0<x≤5π,1, x>5π.
Построить график fx и Fx
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X
Математическое ожидание
MX=-∞∞x∙fxdx=05πx∙110sinx5dx=u=xv=sinx5dxdu=dxv=-5cosx5=110-5xcosx505π+505πcosx5dx=11025π+25 sinx505π=110∙25π=5π2=2,5π≈7,854
Дисперсия
DX=MX2-MX2=-∞∞x2∙fxdx-MX2=05πx2∙110sinx5dx-5π22=u=x2v=sinx5dxdu=2xdxv=-5cosx5=110-5x2cosx505π+1005πxcosx5dx-5π22=u=xv=cosx5dxdu=dxv=5sinx5=110125π2+105x sinx505π-505πsinx5dx-5π22=125π210+25cosx505π-5π22=25π22-25-25-5π22=25π22-50-5π22=25π22-50-25π24=25π24-50≈11,685
Ответ: а) a=110; б) Fx=0, x≤0,121-cosx5, 0<x≤5π,1, x>5π.; в) графики см выше;
г) MX=5π2≈ 7,854; DX= 25π24-50≈11,685.