Непрерывная СВ задана дифференциальной функцией

Непрерывная СВ задана дифференциальной функцией, т.е. функцией плотности распределения. По свойству -∞+∞fxdx=C-∞+∞fxdx=1 найдем коэффициент С.
C23x-2dx=1 ⇒ C=123x-2dx . Найдем 23x-2dx=х22-2х32=
=322-2∙3-222-2∙2=92-6-2-4=-1,5--2=12, тогда С=2 .
Таким образом функция плотности распределения принимает вид:
fX=0, x<22x-2, 2≤x≤30, x>3.
Найдем функцию распределения F(x) :
Если x<2, то fX=0 и Fx=-∞x0dx=0.
Если 2≤x≤3 и fX=2x-2, то
Fx=-∞20dx+22xx-2dx=0+2∙х22-2хx2=2∙х22-2х-222-2∙2=
=2∙х22-2х+2=x2-4x+4=x-22.
Если x>3 и fX=0, то
Fx=-∞20dx+223x-2dx+53х0dх=0+2∙х22-2х32+0=
=2∙322-2∙3-222-2∙2=2∙92-6-2+4=2∙12=1.
Таким образом, искомая функция распределения случайной величины имеет вид:
Fx=x-220, x<2, 2≤x≤31, x>3.
Построим графики функций f(X) и Fx:
Найдем математическое ожидание:
МХ=abx∙fXdx=23x∙2x-4dx=232x2-4xdx=2∙x33-4∙x2232=
=2∙333-4∙322-2∙233-4∙222=18-18-163+8=83 .
Найдем дисперсию:
DХ=abx2∙fXdx-МХ2=23x2∙2x-4dx-МХ2=
=232x3-4x2dx-МХ2=2∙x44-4∙x3332-832=
=2∙344-4∙333-2∙244-4∙233-832=812-36-8+323-649=118 .
Найдем среднеквадратическое отклонение:
δ (х)=DХ=118=236=26 .
Найдем вероятность того, что случайная величина X примет значение из данного интервала:
P214<X<212=F212-F214=212-22-214-22=122-142=
=14-116=416-116=316 .