Необходимо найти такие точки абсцисс Cx1, 0 и Dx2,4, чтобы сумма расстояний AC+CD+DB была минимальной

Введем систему координат так, чтобы максимально упростить решение задачи. Требуется найти абсциссы точек Cx1, 0 и Dx2,4 такие, что сумма длин отрезков АС, СD и DB будет минимальной: J = AC+CD+DB → min. Запишем J как функцию неизвестных координат точек C, D. Для этого выразим длины отрезков AC, CD и DB через их координаты (по теореме Пифагора):
Jx1,x2=x12+ a2+ x2-x12+ 42+ c-x22+b-42→min
Jx1,x2=x12+ 32+ x2-x12+ 42+ 6-x22+1-42→min
Jx1,x2=x12+ 9+ x2-x12+ 16+ 6-x22+9→min
Получаем задачу безусловной многомерной оптимизации.
Составляем систему уравнений . Ищем частные производные и приравниваем их к нулю:
∂J(x1,x2)∂x=xx12+ 9 – x2- x1x2- x12+ 16=0∂J(x1,x2)∂y= x2- x1x2- x12+ 16-6-yx22-12y+45=0
Решение данной системы уравнений:
x=95, y=215
Определим вид стационарной точки, рассчитав матрицу Гессе:
∂2J(x1,x2)∂x12=87540834
∂2J(x1,x2)∂x1∂x2=∂2J(x1,x2)∂x2∂x1=-12513634
∂2J(x1,x2)∂x22=87540834
Полученная матрица Гессе:
HJ(x1,x2)=1251363473-1-173
Так как гессиан симметричен и все его угловые миноры положительны
73>0, 73-1-173=409>0
согласно критерию Сильвестра, матрица HJ(x1,x2) положительно определена для всех значений x и y, следовательно, найденная стационарная точка 95,215 является минимумом.
Ответ: функция достигает своего минимума в точке 95,215 .