Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке

Для решения смешанной задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T't=25X''x∙Tt.
Разделим равенство на 25Xx∙T(t)
T'(t)25T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T't+25λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
u0,t=X0⋅Tt=0, u4,t=X2⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X2=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X4=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X4=C2 sin4λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin4λ=0,
4λn=πn, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=πn42, n=1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Xnx=sinπnx4, n=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tn'(t)+25πn22Tnt=0.
Tn'(t)+5πn22Tnt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tnt=Ane-5πn22t.
Решение исходной задачи ux,t представим в виде ряда по собственным функциям
ux,t=n=1∞TntXn(x)=n=1∞Ane-5πn22tsinπnx4.
Коэффициенты An этого ряда найдем из начального условия (3)
ux,0=n=1∞Ansinπnx4=φx=x22, 0≤x≤2, 4-x, 2<x≤4
Коэффициенты An представляют собой коэффициенты разложения функции φx на отрезке 0;4 в ряд Фурье по собственным функциям sinπnx4n=1∞
An =2404φxsinπnx4dx=1202x22sinπnx4dx+12244-xsinπnx4dx=
=1202x22-4πndcosπnx4+244-x-4πndcosπnx4=
=-2πnx22cosπnx402-02cosπnx4xdx+4-xcosπnx424+24cosπnx4dx=
=-2πn2cosπn2-01x4πndsinπnx4-2cosπn2+4πnsinπnx424=
=-2πn-4πnxsinπnx402-02sinπnx4dx-4πnsinπn2=
=8π2n22sinπn2+4πncosπnx402+sinπn2=
=8π2n23sinπn2+4πncosπn2-1=8π3n33πnsinπn2+4cosπn2-4.
Таким образом, решение исходной смешанной задачи имеет вид
ux,t=n=1∞8π3n33πnsinπn2+4cosπn2-4e-5πn22tsinπnx4.
Ответ:
ux,t=8π3n=1∞1n33πnsinπn2+4cosπn2-4e-5πn22tsinπnx4.