В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и не меняет знак на нем (то есть, неотрицательная или неположительная). Фигуру G, ограниченную линиями
y = f(x), y=0,x=a,x=b называют криволинейной трапецией. Обозначим ее площадь S(G).
Разбивая фигуру на n отрезков [xi-1;xi] частей точками a=x0<x1<…<xn=b
Обозначим длины этих отрезков ∆xi
В каждом из элементарных отрезков [xi-1;xi] выберем точку ξi и вычислим значение функции f(ξi)∙∆xi
Сумму произведений f(ξi)∙∆xi называют интегральной суммой
S*=i=1nf(ξi)∙∆xi
Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм, при условии, что длина наибольшего ∆xi из элементарных отрезков стремится к нулю, и предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [a, b], ни от выбора точек ξi, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] и обозначается
abf(x)dx=limmax∆xi→0i=1nf(ξi)∙∆xi
Из всего сказанного следует, что если f(x) > 0 на отрезке [a, b], то площадь S криволинейной трапеции равна:
S(G)=abfxdx