Найти общее решение дифференциального уравнения. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее решение дифференциального уравнения .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка. 1-x2y''-xy'=2

Ответ

y=arcsinxarcsinx+C1C2+C3;C1,C2,C3=const

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Y'=zx;y''=z'→1-x2z'-xz=2;z'-x2x'-xz=2
z=uxvx;z'=u'v+uv'
u'v+uv'-x2u'v-x2uv'-xuv=2
uv'-x2v'-xv+u'v1-x2=2
v'-x2v'-xv=0 1u'v1-x2=2 2
1 v'-x2v'-xv=0;v'1-x2-xv=0;v'1-x2=xv;
dv1-x2dx=xv1;vdv=1-x2xdx;1vdv=x1-x2dx; 1vdv=x1-x2dx;
lnv=-12ln1-x2+C1;lnv=lnC1-12ln1-x2;
elnv=elnC1-12ln1-x2;v=elnC1eln1-x212=C11-x2;
2 u'C11-x21-x2=2;u'C11-x2=2
u'=2C11-x2;u=2C11-x2dx=2C111-x2dx=2C1arcsinx+C2
z=2C1arcsinx+C2C11-x2=2arcsinx+C1C21-x2;
y=2arcsinx1-x2dx+C1C211-x2dx=arcsinxarcsinx+C1C2+C3;C1,C2,C3=const
Проверим.
y'=arcsinxarcsinx+C1C2+C3'=arcsinxarcsinx+C1C2'=arcsinx'arcsinx+C1C2+arcsinxarcsinx+C1C2'=11-x2arcsinx+C1C2+arcsinx11-x2=2arcsinx+C1C21-x2
y''=2arcsinx+C1C21-x2'=2arcsinx+C1C2'1-x2-2arcsinx+C1C21-x2'1-x22=21-x21-x2+x1-x22arcsinx+C1C21-x2=21-x2+2xarcsinx+C1C2x1-x21-x2
1-x2y''-xy'=1-x221-x2+2xarcsinx+C1C2x1-x21-x2-x2arcsinx+C1C21-x2=21-x2+2xarcsinx+C1C2x1-x2-2xarcsinx+C1C2x1-x2=21-x2+2xarcsinx+C1C2x-2xarcsinx-C1C2x1-x2=21-x21-x2=2=2
Ответ: y=arcsinxarcsinx+C1C2+C3;C1,C2,C3=const

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу