Найти массу пластинки D ограниченной указанными линиями

Масса плоской пластинки с плотностью γx, y, занимающей область D, вычисляется по формуле:
m=Dγx,ydxdy.
Пластина расположена в I-й координатной четверти x≥0, y≥0 и ограничена двумя окружностями – радиуса 1 (x2+y2 = 1) и радиуса 2 (x2+y2= 4).
Построим линии и выделим пластину D.
В данном случае удобнее вести вычисления в полярных координатах:
x=r cosφ,y=r sinφ;
dx dy=r dr dφ;
x2+y2=r cosφ2+r sinφ2=r2cos2φ+sin2φ=r2;
γx,y=2x-yx2+y2 ⇒ γr,φ=2r cosφ-r sinφr2=2 cosφ- sinφr ;
Таким образом, получили следующую область интегрирования:
D: 1≤x2+y2≤4x≥0, y≥0 ⇒ 1≤r≤2,0≤φ≤π2.
Найдём массу пластины:
m=Dγx, ydxdy=Dγr, φrdrdφ=0π2dφ122 cosφ- sinφrrdr=
=0π22 cosφ- sinφdφ12dr=2 sinφ+ cosφπ20∙r21=
=2 sinπ2+ cosπ2-2 sin0+ cos0∙2-1=2-1=1.
Ответ: 1.