Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости: n=1∞n2-22n(x-2)n

Ответ

0<x<4 – область сходимости исследуемого степенного ряда, при x=0 ряд сходится.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Находим интервал сходимости ряда:
limn→+∞un+1(x)un(x)=limn→+∞n+12-22n+1(x-2)n+1n2-22n(x-2)n=
=limn→∞(n+12-2)(x-2n+1)*2n2n+1*(n2-2)*(x-2)n=
=limn→+∞(n+12-2)(x-2n)(x-2)*2n2n+1*(n2-2)*(x-2)n=
=x-2limn→+∞(n+12-2)*2n2n+1*(n2-2)=x-2limn→+∞(n+1)2-22(n2-2)=
=x-2*12limn→+∞n+12-2n2-2=x-2*limn→+∞n+12-2n2-22=
=x-2*limn→+∞1+2n-1n21-2n22=x-22
x-22<1
x-2<2
-2<x-2<2
-2+2<x-2+2<2+2
0<x<4
Далее исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала.
Берем x=0 и подставляем в степенной ряд:
n=1∞n2-22n(-3)n=n=1∞n2-22n(-3)n
Получен числовой ряд и нам нужно исследовать его на сходимость:
limn→∞an+1an=limn→∞(n+1)2-22n+1(-3)n+1n2-22n(-3)n=
=limn→∞((n+1)2-2)*(-3n+1)*2n2n+1*n2-2*(-3)n=limn→∞-3(n+12-2)2(n2-2)=
=-32limn→∞n+12-2n2-2=-3limn→∞n+12-2n2-22=-3limn→∞1+2n-1n21-2n22=
=-32<1 – ряд сходится.
Берем x=4 и подставляем в степенной ряд:
n=1∞n2-22n(2)n=n=1∞n2-2
Получен числовой ряд и нам нужно исследовать его на сходимость:
limn→∞an+1an=limn→∞(n+1)2-2n2-2=limn→∞n2+2n-1n2-2=limn→∞1+2n-1n21-2n2=1
Используем интегральный признак:
1∞x2-2dx=limn→∞1nx2-2dx=limn→∞(x33-2x)n1=
=limn→∞n33-2n-13-2=∞ - Ряд расходится.
Ответ: 0<x<4 – область сходимости исследуемого степенного ряда, при x=0 ряд сходится.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу