Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области

Сделаем чертеж замкнутой области
D: y=0;y=1;y=1-x;y=-x
Находим стационарные точки
zx'=x2+2xy-3y2+yx'=2x+2y=0zy'=x2+2xy-3y2+yy'=2x-6y+1=0=>2x+2y=02x-6y+1=0=>
=>y=-x2x+6x+1=0=>y=-x8x+1=0=>x=-18y=18
K-18;18- стационарная точка, K-18;18ϵD
zK=-182+2-1818-3182+18=164-132-364+18=116;
Исследуем функцию на границе области, которая состоит из отрезков OA, AB, BC, OC
OA:y=-x
z=x2+2x-x-3-x2-x=x2-2x2-3x2-x=-4x2-x, xϵ-1;0
z'=-4x2-x'=-8x-1=0=>x=-18;y=18
z-18;18=116
Добавим значения функции на концах отрезка
z-1;1=-4-12--1=-3;
z0;0=0
AB:y=1
z=x2+2x-3+1=x2+2x-2, xϵ-1;0
z'=x2+2x-2'=2x+2=0=>x=-1;y=1
z-1;1=-12+2-1-2=-3
Добавим значения функции на конце отрезка
z0;1=02+2∙0-2=-2
BС:y=1-x
z=x2+2x1-x-31-x2+1-x=
=x2+2x-2x2-3+6x-3x2+1-x=-4x2+7x-2, xϵ0;1
z'=-4x2+7x-2'=-8x+7=0=>x=78;y=18
z78;18=-4∙782+7∙78-2=1716
Добавим значения функции на конце отрезка
z1;0=-4∙12+7∙1-2=1
OC:y=0
z=x2, xϵ0;1
z'=x2'=2x=0=>x=0;y=0
z0;0=0
Сравнивая все полученные значения, получим наибольшее значение
z78;18=1716 и наименьшее значение z-1;1=-3
Ответ: наибольшее значение z78;18=1716, наименьшее значение z-1;1=-3