Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала

Интервал сходимости степенного ряда найдем с помощью признака Даламбера:
un=(x+2)nn2(n+1) un+1=(x+2)n+1(n+1)2(n+2)=(x+2)n∙(x+2)(n+1)2(n+2)
limn→∞ un+1un=limn→∞(x+2)n∙(x+2)(n+1)2(n+2)∙n2(n+1)(x+2)n=x+2∙limn→∞n2n+1(n+2)=
=x+2∙limn→∞n2n2+3n+2=Разделим числитель и знаменатель на n2=x+2∙limn→∞11+3n+2n2=
=x+2
Ряд сходится при
x+2<1 -3<x<-1
Исследуем ряд на сходимость на концах интервала:
x=-1
n=1∞(x+2)nn2(n+1)=n=1∞1n2(n+1)
Сравним данный ряд со сходящимся обобщенно гармоническим рядом, с показателем степени α=3.
bn=1n3
limn→∞bnan=limn→∞n2n+1n3=limn→∞n3+n2n3=limn→∞1+1n=1
Получили конечное, отличное от нуля число, поэтому исходный ряд также сходится.
x=-3
n=1∞(x+2)nn2(n+1)=n=1∞(-1)nn2(n+1)
Исследуем на сходимость ряд, составленный из модулей данного ряда.
n=1∞(-1)nn2n+1=n=1∞1n2n+1
Этот ряд сходится по доказанному ранее, значит и исходный ряд сходится абсолютно.
Область сходимости ряда: -3≤x≤-1