Найти базисы образа и ядра ранг для линейного оператора

По определению ядро линейного оператора φkerφ есть множество всех векторов x, которые φ переводит в нулевой вектор. Это означает, что kerφ состоит из векторов, координаты которых x1, x2, x3, x4 удовлетворяет условию:
1458 2367 3276 4185x1x2x3x4=0000
То есть, kerφ соответствует пространству L решений системы
x1+2x2+3x3+4x4=04x1+3x2+2x3+x4=05x1+6x2+7x3+8x4=08x1+7x2+6x3+5x4=0
Приводим матрицу к гаусовскому виду:
1458 2367 3276 4185 0000~1000 2-5-4-9 3-10-8-18 4-15-12-27 0000~1000 0100 -1200 -2300 0000
1-й и 2-й столбец редуцированной матрицы линейно независимы, а 3-й и 4-й являются их линейной комбинацией