Найдите общие решения дифференциальных уравнений xdx=ydy

1) Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Переменные уже разделены. Для того, чтобы интегрировать данное дифференциальное уравнение, представим корни в виде степени:
xdx=ydy;
x12dx=y12dy;
x12dx=y12 dy.
2) Воспользуемся табличным интегралом:
xadx=xa+1a+1+C.
Тогда:
x12+112+1=y12+112+1+C1;
x3232=y3232+C1;
23x32=23y32+C1.
3) Умножим обе части уравнения на 32 и введем новую константу:
x32=y32+32C1;
x32=y32-С;
x3=y3-С;
y3=x3+С.
4) Возведем обе части уравнения в квадрат и выразим y через x:
y32=x3+С2;
y3=x3+С2;
y=3x3+С2.
Ответ: y=3x3+С2.