Найдите параметрические и общее уравнения поверхности вращения

Рассмотрим поверхность, образованную вращением кривой x=12y2 вокруг оси Oy.
Зададим кривую параметрически:
x=12u2,y=u, u∈R.
Параметрические уравнения искомой поверхности вращения имеют вид:
x=12u2sinv,y=12u2cosv,z=u, u∈R, 0≤v<2π
(здесь x, y, z — уже пространственные координаты).
Общее уравнение поверхности найдём, исключив из системы параметры u и v.
x2+y2=14z4sin2v+14z4cos2v=14z4sin2v+cos2v=14z4.
Итак, общее уравнение искомой поверхности вращения:
4x2+4y2-z4=0.
Для вычисления коэффициентов первой и второй квадратичных форм удобно ввести круговую функцию ev=isinv+jcosv и записать уравнения поверхности в виде r=12u2ev+uk. Заметим:
e'v=icosv-jsinv, e''v=-isinv-jcosv=-ev;
ev2=sin2v+cos2v=1, e'v2=cos2v+sin2v=1;
ev∙e'v=sinv∙cosv-cosv∙sinv=0, ev∙k=e'v∙k=0;
ev×e'v=ijksinvcosv0cosv-sinv0=-k, и ev, e'v, k=ev×e'v∙k=-1.
Теперь дифференцируем вектор-функцию:
ru'=uev+k, rv'=12u2e'v;
ruu''=ev, ruv''=ue'v, rvv''=12u2e''v=-12u2ev.
Вычисляем коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности:
E=ru'2=uev+k2=u2+1,
F=ru'∙rv'=uev+k∙12u2e'v=12u3ev∙e'v+12u2e'v∙k=0,
G=rv'2=12u2e'v2=14u4e'v2=14u4;
E∙G-F2=u2+1∙14u4-0=12u2u2+1,
ru'×rv'=ijkusinvucosv112u2cosv-12u2sinv0=12u2ev-u32k,
L=ru', rv', ruu''E∙G-F2=12u2ev-u32k∙ev12u2u2+1=1u2+1,
M=ru', rv', ruv''E∙G-F2=12u2ev-u32k∙ue'v12u2u2+1=0,
N=ru', rv', rvv''E∙G-F2=12u2ev-u32k∙-12u2ev12u2u2+1=-u22u2+1.
Приравнивая к нулю вторую квадратичную форму
φ2=Ldu2+2Mdudv+Ndv2=2du2-u2dv22u2+1=0
находим дифференциальное уравнение асимптотических линий поверхности вращения:
2du2-u2dv2=0
или
2du-udv2du+udv=0.
Как видно, асимптотические линии распадаются на два семейства, описываемые уравнениями
dv=±2duu.
Интегрируя, получаем уравнения семейств асимптотических линий:
v+2lnu=C1,
v-2lnu=C2.
Каждому значению величины C1 или C2 отвечает некоторая асимптотическая линия поверхности