Методом Лагранжа найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование

Матрица квадратичной формы:
A=4-22-21-322-321
Выделим полный квадрат при переменной x1
4x12-2x1∙12x2-12x3+12x2-12x32-412x2-12x32+x22+x32-3x2x3
4x1-12x2+12x32-x22+2x2x3-x32+x22+x32-3x2x3
4x1-12x2+12x32-x2x3
Выполним замену переменных:
y1=x1-12x2+12x3y2=x2y3=x3
Матрица перехода:
Y=AX, A=1-1212010001
4y12-y2y3
Выполним замену:
Выполним замену переменных:
y1=z1y2=z2+z3y3=z2-z3
Y=BZ, B=10001101-1
4z12-(z2+z3)(z2-z3)
4z12-z22+z32
Y=AX Y=BZ => AX=BZ X=A-1BZ
Найдем A-1 по следующему алгоритму:
Найдем определитель матрицы A:
∆=1-1212010001=1
Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A
по формуле Aij=(-1)i+j∙Mij, где Mij – определитель, полученный из ∆ путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.
A11=(-1)1+1∙1001=-12∙1-0=1
A12=-11+2∙0001=-13∙0-0=0
A13=-11+3∙0100=-14∙0-0=0
A21=-12+1∙-121201=-13∙-12-0=12
A22=-12+2∙11201=-14∙1-0=1
A23=-12+3∙1-1200=-15∙0-0=0
A31=-13+1∙-121210=-14∙0-12=-12
A32=-13+2∙11200=-15∙0-0=0
A33=-13+3∙1-1201=-16∙1-0=1
Из найденных дополнений составим матрицу:
AT=A11A21A31A12A22A32A13A23A33=112-12010001 => A-1=1∆∙AT=112-12010001
A-1B=112-12010001∙10001101-1=10101101-1
X=A-1BZ
x1=z1+z3x2=z2+z3x3=z2-z3
Выполним проверку:
4(z1+z3)2+z2+z32+(z2-z3)2-4(z1+z3)(z2+z3)+4(z1+z3)(z2-z3)-3(z2+z3)(z2-z3)
4z12+8z1z3+4z32+z22+2z1z3+z32+z22-2z1z3+z32-
-4z1z2-4z2z3-4z1z3-4z32+4z1z2+4z3z2-4z1z3-4z32-3z22+3z32
4z12-z22+z32
Ответ:
4z12-z22+z32
x1=z1+z3x2=z2+z3x3=z2-z3