Механическая система состоящая из трёх тел
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Механическая система, состоящая из трёх тел, под действием сил тяжести начинает движение из состояния покоя. Её начальное положение показано на схеме, а необходимые для решения данные приведены в таблице.
Требуется:
1) используя теорему об изменении кинетической энергии, определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным S1;
2) составив согласно принципу Д’Аламбера-Лагранжа общее уравнение динамики, определить ускорение тела 1;
3) используя уравнение Лагранжа II рода, ещё раз определить ускорение тела 1.
Нити считать нерастяжимыми, их массами пренебречь. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям. Иные силы сопротивления, кроме сил трения скольжения и сил сопротивления качению, не учитывать. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не заданы, считать сплошными однородными цилиндрами. Ускорение свободного падения считать g=9,8 м/с2.
Исходные данные
Массы тел r, м
Коэффициент
трения скольжения, μ
Коэффициент трения
качения η, ×10-2 м
S1, м
m1
m2
m3
m
m
2m
0,25
0,15
0,28
1,75
Нужно полное решение этой работы?
Решение
1 Решение с помощью теоремы об изменении кинетической энергии
По рисунку варианта 4 понятно, что r- это равные радиусы тел 2 и 3.
Система движется направо (груз 1 по наклонной плоскости поднимается вверх), т.к. по условию m3=2m1, а уклон плоскостей одинаковое.
Из-за нерастяжимости нити
v1=vB=vA=v3
Груз 1 движется поступательно со скоростью v1. Блок 2 вращается вокруг оси O с угловой скоростью
ω2=vBr=v1r.
Каток 3 совершает плоское движение. Скорость центра масс (ЦМ) катка C- v3 определим по методу мгновенного центра скоростей (МЦС). МЦС катка 3 – точка с нулевой скоростью в данный момент времени). Это точка P соприкасания катка с неподвижной поверхностью наклонной плоскости, по которой он катится. Все точки катка вращаются вокруг МЦС (точки Р) с одной угловой скоростью ω3.
Угловая скорость катка 3
ω3=v3r=v1 r
Кинетическая энергия системы складывается из кинетических энергий тел, включенных в систему:
T=T1+T2+T3.
Кинетическая энергия поступательного движения груза 1:
T1=m1v122=mv122.
Кинетическая энергия вращательного движения блока 2:
T2=J2ω222
Здесь J2- момент инерции блока 2 (однородный сплошной цилиндр) относительно оси O:
J2= m2r222=mr22.
Получим:
T2=J2ω222=mr2∙v1r22∙2=mv124.
Кинетическая энергия плоского движения катка 3:571538101
2
ω2
O
P3
N1
S1
XO
C
P2
30°
30°
3
v1
vA
vB
v3
Fтр
YO
A
B
ω3
ω3
P
P1
N3
Рис. 1.
Mк
Fсц
x
y
001
2
ω2
O
P3
N1
S1
XO
C
P2
30°
30°
3
v1
vA
vB
v3
Fтр
YO
A
B
ω3
ω3
P
P1
N3
Рис. 1.
Mк
Fсц
x
y
T3=m3v322+J3ω322=2m∙v122+2mr22∙v1r22=32mv12.
(здесь
J3=m3r22=mr2-
момент инерции катка относительно оси C).
Таким образом, суммарная кинетическая энергия системы равна
T=T1+T2+T3=mv122+mv124+32mv12=94mv12=2,25mv12;
T=2,25mv12
. (1)
На систему действуют внешние (активные) силы:
P1, P2, P3- силы тяжести тел;
XO и YO - составляющие реакций оси блока (их направим параллельно к осям координатной системы);
N1 и N3- нормальная реакция плоскости;
Fтр- сила трения скольжения;
Mс- момент пары сил сопротивления качению катка 3
Fсц- сила сцепления катка с плоскостью.
Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда центр масс тела 1 пройдет путь S1.
Работа силы P1:
AP1=P1∙S1= P1S1cos120°=-0,5P1S1=-0,5m1gS1=-0,5mgS1;
AP1=-0,5mgS1; (2)
Работа силы Fтр:
AFтр=Fтр∙S1= FтрS1cos180°=-μS1P1cos30°=-μS1mgcos30°==-0,15mgS1∙0,866=-0,13mgS1;
AFтр=-0,13mgS1
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
