Кабель, состоящий из 10 одинаковых жил, получил механическое повреждение, затронувшее 60 процентов его поперечного сечения. С какой вероятностью среди выбранных наугад 5-ти жил окажутся поврежденными:
а) ровно 3 жилы
б) не более 3-х жил
Представим далее, что связист пытается установить соединение через жилы этого кабеля. Рассмотрим ситуацию, когда условия работы не позволяют отбирать для попытки соединения более одной жилы, а также исключить повторный выбор жил, оказавшихся на поверку поврежденными. С какой вероятностью из шести попыток соединения неудачными окажутся:
а) ровно четыре.
б) не менее 2-x
С какой вероятностью первая успешная попытка окажется:
а) ровно четвертой
б) не менее, чем третьей по счету
Какими будут эти вероятности, если связист воспользуется появившейся возможностью исключить повторный выбор жил, оказавшихся на поверку поврежденными
Ответ
по схеме "выборка без возвращения":
Pμ5=3=0,4762 Pμ5≤3=0,7381
по схеме "выборка с возвращением"
Pμ6=4=0,311 Pμ6≥2=0,9592
Pv=4=0,0864 Pv≥3=0,36
При последовательном исключении поврежденных жил:
Pv=4=0,0952 Pv≥3=0,3333
Решение
Определим количество поврежденных жил:
M=10∙0,6=6
Когда испытание заключается в случайном отборе n жил и последующей проверке каждой из них один и только один раз, реализуется схема, называемая "выборкой без возвращения".
Вероятность того, что ровно μn=m жил среди n отобранных, найдем по формуле гипергеометрического распределения:
Pμn=m=CMm∙CN-Mn-mCNn
В нашем случае:
N=10, M=6, n=5, m=3
Pμ5=3=C63∙C42C105=6!3!∙3!∙4!2!∙2!10!5!∙5!=20∙6252=120252≈0,4762
Так как поврежденных жил 6, то целых 4, поэтому при извлечении 5 жил минимальное количество поврежденных равно одной.
Pμ5≤3=Pμ5=1+Pμ5=2+Pμ5=3
Pμ5=1=C61∙C44C105=6!1!∙5!∙4!4!∙0!10!5!∙5!=6∙1252=6252≈0,0238
Pμ5=2=C62∙C43C105=6!2!∙4!∙4!3!∙1!10!5!∙5!=15∙4252=60252≈0,2381
Pμ5≤3=0,0238+0,2381+0,4762=0,7381
Когда испытание представляет собой серию попыток соединения и при каждой из попыток отбирается наудачу одна жила из всех, то реализуется схема "выборкой с возвращением"
Для нахождения вероятности события ровно l неудачных попыток соединения из L попыток используем формулу Бернулли:
PμL=l=CLl∙pl(1-p)L-l
Pμ6=4=C64∙0,64∙0,42=6!4!∙2!∙0,1296∙0,16≈0,311
Pμ6≥2=1-Pμ6=0-Pμ6=1
Pμ6=0=C60∙0,60∙0,46≈6!0!∙6!∙1∙0,0041=0,0041
Pμ6=1=C61∙0,61∙0,45≈6!1!∙5!∙0,6∙0,0102≈0,0367
Pμ6≥2=1-0,0041-0,0367=0,9592
Если v - номер попытки, оказавшейся первой успешной, то вероятность события вычисляется по формуле геометрического распределения:
Pv=k=(1-p)k-1∙p
p=N-MN=10-610=0,4
Вероятность того, что эта попытка окажется четвертой по счету:
Pv=4=(1-0,4)3∙0,4=0,0864
Pv≥3=1-Pv<3=1-Pv=1-Pv=2
Pv=1=(1-0,4)0∙0,4=0,4
Pv=2=(1-0,4)1∙0,4=0,24
Pv≥3=1-0,4-0,24=0,36
Рассмотрим ситуацию, когда поврежденные жилы, выявленные при неудачных попытках соединения, исключаются из дальнейшего рассмотрения.
Очевидно, вероятность того, что эта попытка окажется первой по счету
Pv=1=P1=410
Рассмотрим вероятность того, что эта попытка окажется второй:
Pv=2=P12=P1∙P21=610∙49=415≈0,2667
P21=49- всего жил осталось 9, из них целых 4
Pv=3=P123=P1∙P21∙P312=610∙59∙48=16≈0,1667
P21=27 всего жил осталось 9, поврежденных 5
P312=56 всего жил осталось 8, целых 4
Pv=4=P1234=P1∙P21∙P312∙P4123=610∙59∙48∙47=221≈0,0952
P312=48 всего жил осталось 9, поврежденных 5
P4123=47 всего жил осталось 7, целых 4
Pv≥3=1-Pv=1-Pv=2=1-0,4-0,2667=0,3333
Ответ:
по схеме "выборка без возвращения":
Pμ5=3=0,4762 Pμ5≤3=0,7381
по схеме "выборка с возвращением"
Pμ6=4=0,311 Pμ6≥2=0,9592
Pv=4=0,0864 Pv≥3=0,36
При последовательном исключении поврежденных жил:
Pv=4=0,0952 Pv≥3=0,3333
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
