Рассмотрите случайную выборку Xi из некоторого известного распределения и ответьте на следующие вопросы:
а) найдите оценку параметра A методом моментов, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U (-1; A)
б) найдите оценку методом моментов параметра B, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U (-B; B)
в) найдите оценки методом максимального правдоподобия параметров c и C, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U (c; C);
г) найдите (и сравните) оценки параметра L методом моментов и методом максимального правдоподобия, если известно, что выборка сделана из экспоненциального EL распределения;
д) найдите оценку параметра m методом моментов, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N (m, 1)
е) найдите оценки параметров M и S любым известным методом, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N (M, S);
ж) постройте гистограмму и полигон по выборке, количество интервалов - K;
з) в каждом из пунктов (а) - (е) оцените близость данного теоретического распределения к эмпирическому на основе критерия Пирсона; какое из распределений (а) - (е) лучше описывает выборку?
Числовые данные
i1=0,064;
i2=0,508;
i3=-0,018;
i4=0,497;
i5=-0,245;
i6=0,638;
i7=-0,600;
i8=0,386;
i9=0,382;
i10=0,319;
K=3
Решение
А) найдите оценку параметра A методом моментов, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U (-1; A)
Известно, что для равномерно распределенной на отрезке случайной величины математическое ожидание может быть вычислено по формуле . Точеной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое .
В нашем случае имеем .
б) найдите оценку методом моментов параметра B, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U (-B; B).
Известно, что для равномерно распределенной на отрезке случайной величины дисперсия может быть вычислено по формуле . Точечной оценкой дисперсии является выборочная дисперсия
В нашем случае имеем
в) найдите оценки методом максимального правдоподобия параметров c и C, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U (c; C);
Запишем функцию плотности вероятностей
.
Пусть , тогда
Составим функцию правдоподобия:
если , , …, , т. е , то
.
Если , то , поскольку в этом случае хотя бы один из сомножителей указанного произведения обращается в нуль.
График функции правдоподобия при оценке параметра равномерного распределения имеет вид
Наибольшее значение функции правдоподобия находиться в точке , т.е. .
г) найдите (и сравните) оценки параметра L методом моментов и методом максимального правдоподобия, если известно, что выборка сделана из экспоненциального EL распределения;
Пусть наблюдаемая в эксперименте случайная величина имеет экспоненциальное распределение с плотностью
Применяя метод максимального правдоподобия, найдем точечную оценку для параметра .
Составим функцию правдоподобия
.
Применяя операцию логарифмирования, получаем
.
Следовательно, уравнение правдоподобия имеет вид
.
Применяя метод моментов, найдем точечную оценку для параметра .
Найдем математическое ожидание случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение:
Так как точеной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое , то получаем .
Применяя два различных метода, мы получили один и тот же результат
д) найдите оценку параметра m методом моментов, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N (m, 1).
Пусть непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и .
Тогда плотность вероятности имеет вид
.
Найдем математическое ожидание случайной величины :
.
Первый интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно начала координат промежутку, второй интеграл - интеграл Эйлера-Пуассона.
Так как точеной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое , то получаем
е) найдите оценки параметров M и S любым известным методом, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N (M, S);
Пусть непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и .
Тогда плотность вероятности имеет вид
.
Найдем математическое ожидание случайной величины :
.
Первый интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно начала координат промежутку, второй интеграл - интеграл Эйлера-Пуассона.
Так как точеной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое , то получаем
Найдем дисперсию случайной величины :
.
Точеной оценкой дисперсии является выборочная дисперсия
.
Поэтому
ж) постройте гистограмму и полигон по выборке, количество интервалов - 3;
Найдем максимальное и минимальное значения по выборке:
, .
Размах варьирования .
Рассмотрим три равных частичных интервала, в которые попадают все элементы выборки
[-0,6; - 0,19] [-0,187; 0,225] [0,225; 0,638]
2 2 6
з) в каждом из пунктов (а) - (е) оцените близость данного теоретического распределения к эмпирическому на основе критерия Пирсона; какое из распределений (а) - (е) лучше описывает выборку?
[-0,6; - 0,29] [-0,29; 0,02] [0,02; 0,33] [0,33; 0,64]
1 2 2 5
В пункте а) была найдена оценка параметра
Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения на отрезке
,
Найдем теоретические частоты:
,
,
,
Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона
[-0,6; - 0,29] 1 1,31 0,31 0,0961 0,0734
[-0,29; 0,02] 2 1,31 0,69 0,4761 0,3634
[0,02; 0,33] 2 1,31 0,69 0,4761 0,3634
[0,33; 0,65] 5 1,31 3,69 13,6161 10,3940
сумма 10
Найдем по таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы критическую точку правосторонней критической области .
Так как наблюдаемое значение критерия больше критического значения критерия (11,942>3,8), то делаем вывод о том, что наблюдения не согласуются с равномерным распределением на рассматриваемом отрезке на уровне значимости .
В пункте б была найдена оценка параметра .
Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения на отрезке
,
Найдем теоретические частоты:
,
,
,
Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона
[-0,6; - 0,29] 1 2,4 -1,4 1,96 0,8167
[-0,29; 0,02] 2 2,4 -0,4 0,16 0,0667
[0,02; 0,33] 2 2,4 0,4 0,16 0,0667
[0,33; 0,65] 5 2,4 2,6 6,76 2,8167
сумма 10
Найдем по таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы критическую точку правосторонней критической области .
Так как наблюдаемое значение критерия меньше критического значения критерия (3,7667<3,8), то делаем вывод о том, что наблюдения согласуются с равномерным распределением на рассматриваемом отрезке на уровне значимости .
В пункте u) была найдена оценка параметра .
Найдем плотность предполагаемого экспоненциального распределения
,
Найдем теоретические частоты:
,
,
,
Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона
[-0,6; - 0,29] 1 1,6300548 × 10^16 8419603071100
[-0,29; 0,02] 2 1731017348,77 10870715
[0,02; 0,33] 2 183,82 -181б82 472,6
[0,33; 0,65] 5 0,00002 4,99998 22849,14
сумма 10
Найдем по таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы критическую точку правосторонней критической области .
Так как наблюдаемое значение критерия значительно больше критического значения критерия, то делаем вывод о том, что наблюдения не согласуются с экспоненциальным распределением на уровне значимости .
В пункте д) была найдена оценка параметра .
Найдем плотность предполагаемого нормального распределения с параметрами 0,1931 и 1
,
Найдем теоретические частоты:
,
,
,
Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона
[-0,6; - 0,29] 1 1,01 -0,01 0,0001 0,0001
[-0,29; 0,02] 2 1,79 0,21 0,0441 0,0246
[0,02; 0,33] 2 1,23 0,77 0,5929 0,4820
[0,33; 0,65] 5 1,22 3,78 14,2884 11,7118
сумма 10
Найдем по таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы критическую точку правосторонней критической области .
Так как наблюдаемое значение критерия больше критического значения критерия, то делаем вывод о том, что наблюдения не согласуются с нормальным распределением с параметрами 0,1931 и 1 на уровне значимости .
В пункте е) была найдена оценка параметра ,
Найдем плотность предполагаемого нормального распределения с парметрами 0,1931 и 0,37
Найдем теоретические частоты:
,
,
,
Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона
[-0,6; - 0,29] 1 0,79 0,21 0,0441 0,0558
[-0,29; 0,02] 2 2,79 -0,79 0,6241 0,2237
[0,02; 0,33] 2 5,49 -3,49 12,1801 2,2186
[0,33; 0,65] 5 2,46 2,54 6,4516 2,6226
сумма 10
Найдем по таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы критическую точку правосторонней критической области .
Так как наблюдаемое значение критерия больше критического значения критерия, то делаем вывод о том, что наблюдения не согласуются с нормальным распределением с параметрами 0,1931 и 0,37 на уровне значимости .
Из представленных распределений указанная выборка лучше всего согласуется с равномерным распределением на отрезке , т.к
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
