Известны координаты в прямоугольной системе координат трех точек A-2

3.1. Найдем координаты векторов AB, AC:
AB=x2-x1;y2-y1=(1-(-2);6-(-3))=3;9;
AC=(6-(-2);1-(-3))=8;4.
Найдем длины векторов AB, AC:
AB=x2+y2=32+92=9+81=90=310.
AC=82+42=64+16=80=45.
3.2. Вычислим скалярное произведение векторов AB, AC:
AB∙AC=x1∙x2+y1∙y2=3∙8+9∙4=24+36=60.
Угол φ между векторами AB и AC найдем по формуле:
cosφ =AB∙ACAB∙AC.
Подставим найденные значения в формулу и вычислим косинус угла φ:
cosφ =60310∙45=550=12.
φ=arccos 12=45o.
3.3. Вычислим векторное произведение векторов AB, AC по формуле:
AB,AC=xAByABxACyAC.
Подставим в формулу координаты векторов AB и AC:
AB,AC=3984=12-72=-60.
Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения:
S∆ABC=12AB,AC=12∙-60=30 кв.ед.
3.4 . Вектора коллинеарны, если отношения их координат равны между собой: b=n∙a, т. е. AB+β∙AC=n∙BC.
Координаты векторов AB+β∙AC и BC равны:
AB+β∙AC=3;9+β∙8;4=3+8β;9+4β.
BC= (6-1;1-6)=5;-5.
Определять отношение между координатами векторов (n) будем по формуле:
n=AB+β∙ACBC.
Таким образом,получаем уравнение:
n=3+8β5=9+4β-5;
Вычислим значение β:
-3+8β=9+4β;
-3-8β=9+4β;
-8β-4β=9+3;
-12β=12;
β=-1.
Найдем координаты вектора AB+β∙AC при β=-1:
AB+β∙AC=3;9+(-1)∙8;4=-5;5
Проверим, коллинеарны ли векторы AB-AC и BC:
n=AB-ACBC=-55=5-5=-1.
Вектора AB+β∙AC и BC коллинеарны при β=-1.
3.5