Известны координаты в прямоугольной системе координат Oxyz вершин пирамиды A1A2A3A4

4.1 Найдем смешанное произведение векторов А1А2, А1А3, А1А4 и объем пирамиды.
Смешанное произведение
Используем координатную форму смешанного произведения.
Пусть даны 3 вектора aa1; a2; a3, bb1; b2; b3, сс1; с2; с3 . Тогда их смешанное произведение равно:
А1А2, А1А3, А1А4=a1a2a3b1b2b3с1с2с3
Таким образом, следует найти координаты векторов А1А2, А1А3, А1А4.
Воспользуемся формулой нахождения координат вектора в пространстве по координатам его концов: М1М2b1-a1;b2-a2;b3-a3, где M1a1; a2; a3, M2b1; b2; b3.
Подставляя координаты верин, получим:
А1А2(-4;5;-4), А1А3(-4;0;2), А1А4(-3;3;-5).
Тогда:
А1А2, А1А3, А1А4=-45-4-402-33-5=-4∙023-5-5∙-42-3-5-
-4∙-40-33=-4∙-6-5∙26-4∙-12=24-130+48=-58
Объем пирамиды
Согласно геометрическому смыслу смешанного произведения: модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах .
А1
А2
А3
А4
А1
А3
А4
А2
А1
А2
А3
А4
А1
А3
А4
А2
Т.е. Vпараллелепипеда=58 ед3. Выразим искомый объем пирамиды, построенной на векторах А1А2, А1А3, А1А4 через объем построенного на них параллелепипеда.
Vпирамиды=13S1h, S1 – площадь основания пирамиды, h – высота, проведенная к этому основани.
Vпараллелепипеда=S2h, где S2 – площадь основания параллелепипеда.
Площадь треугольника в два раза меньше площади параллелограмма, до которого этот треугольник достроен. Поэтому S1=12S2.
Высоты парллелепипеда и пирамиды одинаковы.
Таким образом:
Vпирамиды=13S1h=13∙12S2h=S2h=16Vпараллелепипеда
Vпирамиды=16∙58=293 ед3
4.2 Найдем канонические уравнения прямой А1А2;
Канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку М1(x1;y1;z1) параллельно вектору a(a1;a2;a3) имеют вид:
x-x1a1=y-y1a2=z-z1a3
В качестве направлюящего вектора прямой возьмем вектор А1А2(-4;5;-4), а в качестве исходной точки A1=(4;2;5).
Получим канонические уравнения прямой А1А2:
x-4-4=y-25=z-5-4
4.3 Найдем общее уравнение плоскости A1A2A3
Составим уравнение плоскости по трем точкам и приведем его к общему виду.
Через три точки пространства, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, причем только одну.
Тогда, точка Мx; y; z принадлежит этой плоскости тогода и только тогда, когда векторы А1М, А1А2 , А1А3 компланарны