Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка.
Сначала найдём решение соответствующего однородного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни:
k2-2k-8=0
D=4-4*1*-8=4+32=36
k1=2-62=-42=-2
k2=2+62=82=4
Получились различные действительные корни, поэтому общее решение однородного уравнения выглядит так:
Y=C1e-2x+C2e4x
Так как один из корней характеристического уравнения совпал со степенью экспоненты в правой части, частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
y=Axe-2x
Найдём первую и вторую производную от данного выражения:
y'=Ae-2x-2Axe-2x
y''=-2Ae-2x-2Ae-2x+4Axe-2x=-4Ae-2x+4Axe-2x
Подставим в уравнение данные замены:
-4Ae-2x+4Axe-2x-2Ae-2x+4Axe-2x-8Axe-2x=6e-2x
-6Ae-2x=6e-2x
Получаем уравнение:
-6A=6
A=-1
Тогда частное решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=Axe-2x=-xe-2x
Общее решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=Y+y=C1e-2x+C2e4x-xe-2x