Известны координаты в прямоугольной системе координат Oxy трех точек A, B, C, являющихся вершинами треугольника. Изобразить треугольник ABC в этой прямоугольной системе координат и найти:
3.1 координаты векторов АВ, АС и их длины;
3.2 скалярное произведение векторов АВ, АС и угол φ между векторами АВ, АС;
3.3 векторное произведение векторов АВ, АС и площадь треугольника ABC;
3.4 значение параметра β, при котором векторы АВ+β∙АС и BС будут коллинеарны;
3.5 координаты точки P, делящей отрезок AB в отношении λ=12;
3.6 каноническое уравнение стороны AB;
3.7 уравнение с угловым коэффициентом и угловой коэффициент прямой, проходящей через точку C параллельно прямой AB;
Номер варианта Координаты точек
1 A(1;-6) B(3;4) C(-3;3)
Ответ
1. АВ2;10, АС-4;9, AB=226, AC=97
2. АВ∙ АС=82, φ≈350
3. AB×AC=0;0; 58 , SABC=29 ед2.
4. β=-1
5. P(123;-223)
6. x-12=y+610
7. y=5x+18, k=5
Решение
3.1 Найдем координаты векторов АВ, АС и их длины.
Координат векторов
Воспользуемся формулой нахождения координат вектора на плоскости по координатам его концов: М1М2b1-a1;b2-a2, где M1a1; a2, M2b1; b2.
Подставляя коордиинаты точек А и В, получим:
АВ2;10
Подставляя коордиинаты точек А и С, получим:
АС-4;9
Длины векторов
Воспользуемся формулой нахождения модуля вектора по его координатам:
М1М2=a2+b2, где М1М2 a;b.
Подставляя коордиинаты вектора АВ, получим:
AB=22+102=104=226
Подставляя коордиинаты вектора АС, получим:
AC=(-4)2+92=97
3.2 Найдем скалярное произведение векторов АВ, АС и угол φ между векторами АВ, АС.
Скалярное произведение
Воспользуемся формулой для нахождения скалярного произведения векторов по их координатам:
a∙b=a1b1+a2b2, где где aa1; a2, bb1; b2
Подставляя координат векторов АВ и АС, получим:
АВ∙ АС=2∙(-4)+10∙9=82
Угол между векторами
По определению скалярное поризведение векторов a, b равно:
a∙b=a∙b∙cosφ
Выразим косинус угла между векторами:
cosφ=a∙ba∙b
Подставляя найденные значения длин векторов АВ и АС и их скалярного произведения, получим:
cosφ=82226∙97≈0,8164
Поскольку углы треуголника меньше 1800, то φ≈350
3.3 Найдем векторное произведение векторов АВ, АС и площадь треугольника ABC.
Векторное произведение векторов
Воспользуемся представлением векторного произведения в виде определителя:
a×b=ijka1a2a3b1b2b3, где aa1; a2; a3, bb1; b2; b3 – векторы в пространстве, i, j, k – коордиинатные векторы пространства.
Подставляя в определитель координаты векторов АВ и АС в пространстве (апликата равна нулю, поскольку векторы лежат в плоскости XOY), получим вектор w, являющийся векторным произведением этих векторов:
w=AB×AC=ijk2100-490=i10090-j20-40++k210-49=k2∙9-10∙-4=58k
или w0;0; 58 .
Площадь треугольника ABC
Воспользуемся геометрическим смыслом векторного произведения векторов: модуль векторного произведения векторов a, b равен площади параллелограмма, построенного на векторах a, b, отложенных от одной точки (если векторы a, b не коллинеарны).
Векторы АВ и АС не коллинеарны, иначе их векторное произведение было бы равно 0.
Построим треугольник ABC на плоскости, и на веторах АВ и АС построим параллелограмм ABCD
.
Площади треугольника и параллелограмма связаны соотношением, известным из курса планиметрии:
SABC=12SABCD
Найдем модуль векторного произведения w0;0; 58 векторов АВ и АС.
Воспользуемся формулой нахождения модуля вектора в пространстве по его координатам:
М1М2=x2+y2+z2, где М1М2 x;y;z.
Тогда w=02+02+582=58
Таким образом, в соответствии с геометрическим смыслом векторного произведения:
SABCD=w=58 ед2
Тогда SABC=12∙58=29 ед2.
3.4 Найдем значение параметра β, при котором векторы АВ+β∙АС и BС будут коллинеарны.
Обозначим: m=АВ+β∙АС
Найдем координаты вектора m в пространстве.
Воспользуемся правилом нахождения координат произведения числа на вектор:
ta ta1; ta2; ta3, где aa1; a2; a3, t∈R
АС-4;9;0, аппликата равна 0, т.к
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
