Известно, что некая пластинка занимает собой область, ограниченную кривыми y1 и y2 с переменной плоскостью γ. Зная данные функции, изобразите форму пластинки на графике, определите и отметьте точки максимальной и минимальной плотности, определите и отметьте на нем координаты центра тяжести пластинки.
Вариант Обозначение Функция
8 y1 y1 = -x2+100
y2 y2 = 0.5x2-12
γ γ=x-y+32
Решение
Y1=-x2+100;y2=0,5x2-12;γ=x-y+32
Построим графики.
y1=-x2+100
График парабола, ветви которой направлены вниз, симметричная относительно оси Oy вершина параболы в точке (0;100).
Точки пересечения параболы с осью Ох:
-x2+100=0;
x=±10.
-10;0,(10;0)
y2=0,5x2-12
График парабола, ветви которой направлены вверх, симметричная относительно оси Oy вершина параболы в точке (0;-12).
Точки пересечения параболы с осью Ох:
0,5x2-12=0;
0,5x2=12;
x=±120,5=±24=±26 .
-26;0,(26;0)
Область интегрирования D ограничена параболойy1=-x2+100 и параболой
y2=0,5x2-12 . Найдем координаты точек пересечения этих парабол. Для этого решим систему:
y=-x2+100 y=0,5x2-12;-x2+100=0,5x2-12y=-x2+100;-1,5x2=-112y=-x2+100;x2=1121,5y=-x2+100;
x2=112015y=-x2+100;x2=2243y=-x2+100;x=±2243y=-x2+100;x=±16∙143y=-x2+100;x=±4∙143y=-x2+100
1. x=-4∙143y=-x2+100 2.x=4∙143y=-x2+100
x=-4∙143y=-2243+100 x=4∙143y=-2243+100
x=-4∙143y=-224+3003 x=4∙143y=-224+3003
x=-4∙143y=763 x=4∙143y=763
координаты точек пересечения этих парабол:
x=-4∙143y=2513 x=4∙143y=2513
Сделаем чертеж области D.
Масса неоднородной пластины D с поверхностной плотностьюρ(x,y) вычисляется по формуле
В нашем случае: γ=x-y+32
m=Dx-y+32dxdy
Чтобы расставить пределы интегрирования в повторном интеграле надо спроецировать область D на ось Ох
. Получится отрезок
-4∙143 ;4∙143
Этим определяются нижний предел -4∙143 и верхний предел-4∙143 изменения переменной х во внешнем интеграле.
Затем на отрезке:-4∙143 ;4∙143 оси Ох выбираем произвольную точку х, через которую проводим луч, параллельный оси Оу в ее направлении. Нижним пределом будет значение переменной у из уравнения той линии в которую луч вошел (y=0,5x2-12), а верхним – значение переменной y из уравнения той линии из которой луч вышел
(y=-x2+100).
m=Dx-y+32dxdy=-4∙1434∙143dx0,5x2-12-x2+100x-y+32dy
Считая при вычислении внутреннего интеграла х постоянной, имеем
-4∙1434∙143dx0,5x2-12-x2+100x-y+32dy=-4∙1434∙143dxxy-y22+32y-x2+1000,5x2-12=
=-4∙1434∙143x∙-x2+100--x2+10022+32∙-x2+100dx-
--4∙1434∙143x∙0,5x2-12-0,5x2-1222+32∙0,5x2-12dx=
=-4∙1434∙143-x3+100x-x4-200x2+100002-32x2+3200dx-
--4∙1434∙1430,5x3-12x-0,25x4-12x2+1442+16x2-384dx=
=-x44+100x22-12∙x55+12∙200x33-12∙10000x-32x33+3200x4∙143-4∙143-
-0,5∙x44-12x22-12∙0,25x55+12∙12x33-12∙144x+16x33-384x4∙143-4∙143=
=-x44+50x2-x510+100x33-5000x-32x33+3200x4∙143-4∙143-
-x48-6x2-0,025x5+2x3-72x+16x33-384x4∙143-4∙143=
=-2x48+50x2-x510+68x33-1800x4∙143-4∙143-
-x48-6x2-0,025x5+22x33-456x4∙143-4∙143=
=-2x48-x48+50x2+6x2-x510+0,025x5+68x33-22x33-1800x+456x4∙143-4∙143
=-3x48+56x2-0,075x5+463x3-1344x2243-2243=
=-3224348+56∙22432-0,075∙22435+463∙22433-1344∙2243-
--3-224348+56∙-22432-0,075∙-22435+463∙-22433+1344∙2243=
=-1,5∙22435+923∙22433-2688∙2243=-22220842135
Итак, масса неоднородной пластины D, ограниченной линиями, с поверхностной плотностью в каждой её точке равна -22220842135
Центр тяжести пластины вычисляется по формулам:
xc=MyM=DxdxdyDγ(x,y)dxdy;yc=MxM=DydxdyDγ(x,y)dxdy
My=Dxγx,ydxdy=-4∙1434∙143dx0,5x2-12-x2+100xx-y+32dy=
=-4∙1434∙143dxx2y-xy22+32xy-x2+1000,5x2-12=
=-4∙1434∙143dxx2(-x2+100)-x-x2+10022+32x(-x2+100)-
--4∙1434∙143dxx20,5x2-12-x0,5x2-1222+32x0,5x2-12=
=-4∙1434∙143-x4+100x2-x∙x4-200x2+100002-32x3+3200xdx-
--4∙1434∙1430,5x4-12x2-x∙0,25x4-12x2+1442+16x3-384xdx=
=-x55+100x33-12∙x66+12∙200x44-12∙10000∙x22-32x44+3200∙x224∙143-4∙143-
-0,5∙x55-12x33-12∙0,25x66+12∙12x44-12∙144x22+16x44-384∙x224∙143-4∙143=
=-3x510+112x33-x616+188x48-2464x2-12x4+1792x24∙143-4∙143=
=-3x510+112x33-x616+23x42-672x22243-2243=
=-32243510+112224333-2243616+23224342-67222432-
-3-2243510+112-224333--2243616+23-224342-672-22432=
=224224333=40140842135
Mx=Dyγx,ydxdy=-4∙1434∙143dx0,5x2-12-x2+100yx-y+32dy=
=-22432243dx-y33+y2x2+16-x2+1000,5x2-12=
=-22432243dx-(-x2+100)33+(-x2+100)2x2+16-
--22432243dx-0,5x2-1233+0,5x2-122x2+16=
=3x756+x616-91x55-47x42+7064x33+2464x2-528640x32243-2243=
=32243756+2243616-91224355-47224342+7064224333+246422432-528640∙22433-
-3-2243756+-2243616-91-224355-47-224342+7064-224333+2464-22432-528640∙-22433=
=62243756-91224355+14128224333-1057280∙22433=-1060864425
xc=40140842135-22220842135=-135∙40140842135∙22220842=-401408222208=-1179200222208=-11120813888=
=-128023472=-114011736
yc=-1060864425-22220842135=135∙1060864425∙22220842=27∙1060864222208=28643328222208=128200704222208=
=1281254413888=12831363472=12815681736=128784868=128392434=128196217
-114011736;128196217
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
