Изучается зависимость результирующего показателя y от факторов и .
Требуется:
Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .
С помощью частных F-критериев Фишера и t-статистики Стьюдента оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .
По возможности составить уравнение линейной парной регрессии , оставив лишь один значащий фактор.
Вариант 14
х1- посевная площадь (тыс. га)
х2- внесено удобрений (кг/га)
у - валовой сбор (тыс. т)
х1 3,2 3,9 3,5 5,0 3,7 5,0 3,8
х2 20 35 30 35 30 40 42
y 5,2 7,0 5,3 7,5 7,7 7,3 7,0
Решение
N = 7 число наблюдений, m = 2 число объясняющих переменных.
Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:
№
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 5,2 3,2 20 16,64 104 64 10,24 400 27,04
2 7 3,9 35 27,30 245 136,5 15,21 1225 49
3 5,3 3,5 30 18,55 159 105 12,25 900 28,09
4 7,5 5 35 37,50 262,5 175 25 1225 56,25
5 7,7 3,7 30 28,49 231 111 13,69 900 59,29
6 7,3 5 40 36,50 292 200 25 1600 53,29
7 7 3,8 42 26,60 294 159,6 14,44 1764 49
Сумма 47 28,1 232 191,58 1587,5 951,1 115,83 8014 321,96
Ср. знач. 6,71 4,01 33,1 27,37 227 135,87 16,55 1144,9 46,0
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
0,96
0,658
6,81
Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.
Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии
необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :
либо воспользоваться готовыми формулами:
;;
.
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
0,661
0,654
0,631
Находим
0,6
0,055
2,478
Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:
Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:
0,413
0,393
Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:
.
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что посевная площадь оказывает большее влияние на валовый сбор, чем число внесенных удобрений.
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:
.
Вычисляем:
0,359
0,272
Т.е
. увеличение только посевной площади (от своего среднего значения) увеличивает в среднем валовый сбор на 0,359%, а увеличение только внесенных удобрений на 1% увеличивает в среднем валовый сбор на 0,272%. Влияние первого фактора выше.
2. Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:
0,661 средняя прямая связь
0,654 средняя прямая связь
0,631 средняя прямая связь
Они указывают на среднюю по тесноте связь каждого фактора с результатом, а также среднюю межфакторную зависимость (факторы и коллинеарны, т.к. 0,631 не намного меньше 0,7). При такой межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.
При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:
0,424
0,407
Коэффициент множественной корреляции определим через матрицу парных коэффициентов корреляции:
,
где
– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
– определитель матрицы межфакторной корреляции.
Для матрицы размером 3 3 определитель находится по формуле треугольников:
r = 1 0,661 0,654 =
0,661 1 0,631 0,654 0,631 1
= 1 · 1 · 1 + 0,654 · 0,661 · 0,631 + 0,661 · 0,631 · 0,654 –
– 0,654 · 1 · 0,654 – 0,661 · 0,661 · 1 – 1 · 0,631 · 0,631 = 0,2828
r11 = 1 0,631 = 1 – 0,6312 = 0,6021
0,631 1
Коэффициент множественной корреляции
0,728.
Аналогичный результат получим при использовании других формул:
.
Для вычисления остаточной дисперсии вычислим расчетные значения и значение в двух последних столбцах следующей таблицы:
№
1 5,2 3,2 20 5,50 0,09
2 7 3,9 35 6,75 0,06
3 5,3 3,5 30 6,23 0,87
4 7,5 5 35 7,41 0,01
5 7,7 3,7 30 6,35 1,82
6 7,3 5 40 7,68 0,15
7 7 3,8 42 7,07 0,01
Сумма 47 28,1 232 3,00
Ср
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
