Из генеральной совокупности извлечена выборка, которая представлена в виде интервального вариационного ряда.
а) Предполагая, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение, построить доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью γ=0,95.
б) Вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса, используя упрощенный метод вычислений, и сделать соответствующие предположения о виде функции распределения генеральной совокупности.
в) Используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о нормальности распределения генеральной совокупности при уровне значимости α=0,05.
x 3,0-3,6 3,6-4,2 4,2-4,8 4,8-5,4 5,4-6,0 6,0-6,6 6,6-7,2
n 6 10 35 43 22 15 7
Решение
Нередко от интервального распределения выборки бывает удобно перейти к точечному (дискретному) распределению, взяв за новые выборочные значения признака середины частичных интервалов. В рассматриваемой задаче такое распределение, очевидно, имеет вид следующей таблицы:
x 3,3 3,9 4,5 5,1 5,7 6,3 6,9
n 6 10 35 43 22 15 7
Важнейшими числовыми характеристиками признака X являются, как известно, математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение (с.к.o.). Точечными статистическими оценками этих параметров служат соответственно выборочное среднее x, выборочная дисперсия σx2=σn2 и исправленная выборочная дисперсия σn-12=s2, выборочное с.к.o.
σx=σn и исправленное выборочное с.к.o. σn-1=s , которые вычисляются по формулам:
x=1ni=1kxini
σx2=1ni=1kxi-x2ni
x2=1ni=1kxi2ni
σx2=x2-x2
s2=nn-1*σx2
s=s2; σx=σx2
где xi- выборочные значения (варианты) признака X
n- объем выборки
ni- частоты этих значений
По приведенным выше формулам вычислим точечные статистические оценки генеральных параметров распределения признака X , используя при этом данные из таблицы:
x 3,3 3,9 4,5 5,1 5,7 6,3 6,9 ∑
n 6 10 35 43 22 15 7 138
Находим выборочное среднее:
x=1ni=1kxini=11383.3*6+3.9*10+4.5*35+5.1*43+5.7*22+6.3*15+6.9*7=5.1
Находим выборочную дисперсию, используя универсальную формулу ее вычисления σx2=x2-x2. Имеем:
x2=1ni=1kxi2ni=11383.32*6+3.92*10+4.52*35+5.12*43+5.72*22+6.32*15+6.92*7=26.72
σx2=x2-x2=26.72-5.12=0.71
Находим исправленную выборочную дисперсию:
s2=nn-1*σx2=138138-1*0.71≈0.72
Находим выборочное с.к.о. и исправленное выборочное с.к.о.:
σx=σx2=0.71≈0.84
s=σn-1=0.72≈0.85
Доверительный интервал (в котором с вероятностью γ будет находиться средняя генеральной совокупности) для нормально распределенной случайной величины с известными квадратичным отклонением σ, выборочной средней xB и объемом выборки n равен
xB-t*σn; xB+t*σn
где t – решение уравнения 2Фt=γ, а Фt- функция Лапласа, значения которой приведены в таблице Лапласа.
В нашем случае Фt=γ2=0.952=0.475
. По таблице Лапласа находим, что этому значению Фt соответствует t=1.96. Тогда доверительный интервал будет равен:
5.1-1.96*0.84138;5.1+1.96*0.84138
4.96;5.24
В этом интервале с вероятностью γ=0.95 будет находиться средняя генеральной совокупности.
б) Найдем значение коэффициента асимметрии и эксцесса:
AX=μ3σx3
Ek=μ4σx4-3
μ3=x-x3*nin
μ4=x-x4*nin
Упрощенный метод вычислений заключается в построении вспомогательной таблицы:
x 3,3 3,9 4,5 5,1 5,7 6,3 6,9
n 6 10 35 43 22 15 7
x n xini
x-x3
x-x3*ni
x-x4
x-x4*ni
3,3 6 19,8 -5,832 -34,99 10,498 62,986
3,9 10 39 -1,728 -17,28 2,074 20,736
4,5 35 157,5 -0,216 -7,56 0,130 4,536
5,1 43 219,3 0 0 0,000 0
5,7 22 125,4 0,216 4,752 0,130 2,8512
6,3 15 94,5 1,728 25,92 2,074 31,104
6,9 7 48,3 5,832 40,824 10,498 73,483
∑=35.7 138 703,8 0 11,664 25,402 195,7
μ3=11.664138=0.0845
μ4=195.7138=1.4181
AX=0.08450.843=0.143
Ek=1.41810.844-3=-0.152
Отрицательный эксцесс свидетельствует о том, что имеет место более или менее равномерное распределение величин интересующей нас случайной величины.
в) Пусть непрерывная случайная величина (признак) X представлена выборкой значений в виде интервального распределения, причем известны выборочное среднее x и исправленное выборочное с.к.о
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
