Исследуйте функцию z=x3-3x2-3y2-4y на экстремум

Найдем стационарные точки из условия равенства нулю частных производных первого порядка:
∂z∂x=3x2-6x=0∂z∂y=-6y-4=0⇒x1=0y1=-23x2=2y2=-23⇒P10;-23 и P22;-23-
получили две стационарные точки.
Найдем производные второго порядка:
∂2z∂x2P1=6x-6; ∂2z∂x∂yP1=0; ∂2z∂y2=-6.
Найдем определитель, составленных из производных второго порядка:
∆=∂2z∂x2∂2z∂x∂y∂2z∂x∂y∂2z∂y2=6x-600-6=-36x-1.
Подставим координаты стационарных точек и найдем знак определителя в этих точках:
∆1=36>0 и ∂2z∂x2P1=-6<0-в точке P1 максимум
∆2=-36<0- в точке P2 экстремума нет.
zmax=-3∙-232-4∙-23=-43+83=43.
Ответ