Исследовать на экстремум функцию двух переменных

Найдём частные производные функции z по каждой из переменных:
∂z∂x=x2-xy+y2-2x+4y+1x'=2x-y-2
∂z∂y=x2-xy+y2-2x+4y+1y'=-x+2y+4
Найдём стационарные точки функции, для этого получаем систему уравнений:
2x-y-2=0-x+2y+4=0→2x-y=2-x+2y=-4→y=2x-2-x+2*2x-2=-4→y=2x-2-x+4x-4=-4→y=2x-23x=0→y=-2x=0
Получили одну стационарную точку:
M(0;-2)
Найдём частные производные второго порядка функции z и их значение в найденной стационарной точке:
∂2z∂x2=2x-y-2x'=2
∂2z∂y2=-x+2y+4y'=2
∂2z∂x∂y=(2x-y-2)y'=-1
В стационарной точке они имеют эти же значения.
Стационарную точку характеризует следующий определитель:
∆=∂2z∂x2∂2z∂x∂y∂2z∂x∂y∂2z∂y2=2-1-12=2*2--1*-1=4-1=3>0
Так как производная второго порядка по переменной x больше нуля и данный определитель больше нуля, делаем вывод, что найденная стационарная точка является точкой минимума.
M0;-2-точка минимума