Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график

Областью определения функции является вся числовая прямая:
Dy: x∈-∞;∞
Исследуем функцию на четность:
y-x=11+-x2=11+x2
y-x=yx
Функция является четной, значит, ее график симметричен относительно оси Oy
Функция не является периодической
Найдем точки пересечения с осями координат:
С осью Oxy=0:
11+x2=0
Пересечений нет.
С осью Oyx=0: => y=1
Функция является непрерывной на всей числовой оси . Вертикальных асимптот нет.
Исследуем поведение функции на бесконечности:
limx→±∞yx=limx→±∞11+x2=0
y=0 - горизонтальная асимптота
Наклонные асимптоты будем искать в виде:
y=kx+b
k=limx→∞yxx=limx→∞1x+x3=0
Наклонные асимптоты отсутствуют.
Монотонность и экстремумы.
Найдем точки, в которых первая производная равна нулю
y'=11+x2'=-2x1+x22
-2x1+x22=0 x=0
Разобьем числовую ось на интервалы:
x
(-∞;0)
0
(0;∞)
y'
+ 0 -
y
Возрастает max Убывает
ymax=y0=1
Выпуклость и точки перегиба
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю
y'=-2x1+x22'=-21+x22+2x∙2∙1+x2∙2x1+x24=-21+x2+8x21+x23=6x2-21+x23
6x2-21+x23=0 6x2-2=0 23x2-1=0 3x2-1=0 x=±13
Разобьем числовую ось на интервалы:
x
-∞;-13
-13
-13;13
13
13;∞
y'
+ 0 - 0 +
y
Выпукла вниз Перегиб Выпукла вверх Перегиб Выпукла вниз
y±13=34
Используя результаты исследования, построим график функции: