Исследовать на экстремум функцию z=xy-x2-y2+9

Найдем частные производные.
dzdx=xy-x2-y2+9x'=y-2x
dzdy=xy-x2-y2+9y'=x-2y
Решим систему уравнений.
y-2x=0x-2y=0
y=2xx-2*2x=0
y=2xx-4x=0
y=2x-3x=0
y=0x=0
Количество критических точек равно 1.
M10;0;
Найдем частные производные второго порядка.
d2zdxdy=y-2xy'=1
d2zdx2=y-2xx'=-2
d2zdy2=x-2yy'=-2
Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).
Вычисляем значения для точки M10;0
B=d2zdxdy=1
A=d2zdx2=-2
C=d2zdy2=-2
AC - B2 =3>0, A<0, то в точке M10;0 имеется максимум
z0;0=0*0-02-02+9=9
Ответ: в точке M10;0 имеется максимум
z0;0=9