Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики

1) Область определения функции: x∈-∞;-5)∪(-5;+∞.
2) Точка разрыва функции: x = -5.
limx→-5-02x+1x+5=-9-5-0+5=-9-0=+∞,
limx→-5+02x+1x+5=-9-5+0+5=-9+0=-∞.
Так как пределы бесконечны, то x = -5 – вертикальная асимптота.
3) Найдём наклонные асимптоты: y=kx+b.
k=limx→∞f(x)x=limx→∞2x+1xx+5=limx→∞2x+1x2+5x≅limx→∞xx2=limx→∞1x=0,
b=limx→∞fx-kx=limx→∞2x+1x+5-0=limx→∞2x+1x+5≅limx→∞2xx=2.
Получили горизонтальную асимптоту y=2.
4) Функция не периодичная, исследуем на четность и нечетность:
yx=2x+1x+5, y-x=2-x+1-x+5=-2x+1-x+5, -yx= -2x+1x+5 .
Так как условия чётности и нечётности не выполняются, то функция – общего вида, то есть не является ни чётной, ни нечётной.
5) Найдем точки пересечения с осью Оу:
y0=2∙0+10+5=15,
и осью Оx:
2x+1x+5=0, откуда 2x=-1, то есть x=-12.
Имеем точки: 0;15и -12;0.
6) Найдем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремальные значения.
y'=2x+1x+5'=2x+5-2x+1x+52=2x+10-2x-1x+52=
=9x+52.
y'=0-нет точек.
y' не существует-при x=-5.
Отложим точку x=-5 на числовой оси и проверим знак y' в каждом интервале:
y'-6=9x+52x=-6=9-6+52=91=9>0,
y'0=9x+52x=0=90+52=925>0,
17293228363x
-5
x
-5
Отмечаем на числовой оси интервалы возрастания и убывания